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由于 $1/s^2 = \mathcal{L}{t}$ ，移位定理结合图 11.5 中的结果可得
$$\mathcal{L}^{-1}\left{\frac{1}{(s+1)^2(s^2+4)}\right} = \frac{2}{25}e^{-t} + \frac{1}{5}e^{-t}t - \frac{2}{25}\cos 2t - \frac{3}{50}\sin 2t$$
使用 MATLAB 检验你在例 11.20 和例 11.21 中得到的答案。
11.2.10 练习
使用 MATLAB 检验你的答案。
4 求 $\mathcal{L}^{-1}{F(s)}$ 当 $F(s)$ 由下式给出
| (a) $\frac{1}{(s+3)(s+7)}$ | (b) $\frac{s+5}{(s+1)(s-3)}$ | (k) $\frac{5s-7}{(s+3)(s^2+2)}$ | (1) $\frac{s}{(s-1)(s^2+2s+2)}$ |
|---|---|---|---|
| (c) $\frac{s-1}{s^2(s+3)}$ | (d) $\frac{2s+6}{s^2+4}$ | (m) $\frac{s-1}{s^2+2s+5}$ | (n) $\frac{s-1}{(s-2)(s-3)(s-4)}$ |
| (e) $\frac{1}{s^2(s^2+16)}$ | (f) $\frac{s+8}{s^2+4s+5}$ | (o) $\frac{3s}{(s-1)(s^2-4)}$ | (p) $\frac{36}{s(s^2+1)(s^2+9)}$ |
| (g) $\frac{s+1}{s^2(s^2+4s+8)}$ | (h) $\frac{4s}{(s-1)(s+1)^2}$ | (q) $\frac{2s^2+4s+9}{(s+2)(s^2+3s+3)}$ | |
| (i) $\frac{s+7}{s^2+2s+5}$ | (j) $\frac{3s^2-7s+5}{(s-1)(s-2)(s-3)}$ | (r) $\frac{1}{(s+1)(s+2)(s^2+2s+10)}$ |
11.3 微分方程的求解
我们首先考虑导数和积分的拉普拉斯变换，然后将其应用于微分方程的求解。
11.3.1 导数的变换
如果我们要使用拉普拉斯变换方法求解微分方程，就需要找到诸如以下导数的拉普拉斯变换的简便表达式 $df/dt$ , $d^2f/dt^2$ 或者，一般地， $d^nf/dt^n$ . 根据定义，
$$\mathcal{L}\left{\frac{df}{dt}\right} = \int_0^\infty e^{-st} \frac{df}{dt} dt$$
通过分部积分，我们得到
$$\begin{aligned} \mathcal{L}\left{\frac{df}{dt}\right} &= [e^{-st}f(t)]_0^\infty + s \int_0^\infty e^{-st}f(t)dt \ &= -f(0) + sF(s) \end{aligned}$$