解 $$\frac{2}{s^2 + 6s + 13} = \frac{2}{(s + 3)^2 + 4} = \left[ \frac{2}{s^2 + 2^2} \right]_{s \rightarrow s+3}$$

并且，由于 $2/(s^2 + 2^2) = \mathcal{L}{\sin 2t}$ ，移位定理给出

$$\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{2}{s^2 + 6s + 13} \right} = e^{-3t} \sin 2t$$

MATLAB 命令

syms s t
ilaplace(2/(s^2 + 6*s + 13));
return
ans = sin(2*t) *exp(-3*t)

例 11.20求

$$\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{s + 7}{s^2 + 2s + 5} \right}$$

解 $$\begin{aligned} \frac{s + 7}{s^2 + 2s + 5} &= \frac{s + 7}{(s + 1)^2 + 4} = \frac{(s + 1)}{(s + 1)^2 + 4} + 3 \frac{2}{(s + 1)^2 + 4} \ &= \left[ \frac{s}{s^2 + 2^2} \right]{s \rightarrow s+1} + 3 \left[ \frac{2}{s^2 + 2^2} \right]{s \rightarrow s+1} \end{aligned}$$

由于 $s/(s^2 + 2^2) = \mathcal{L}{\cos 2t}$ 和 $2/(s^2 + 2^2) = \mathcal{L}{\sin 2t}$ ，移位定理给出

$$\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{s + 7}{s^2 + 2s + 5} \right} = e^{-t} \cos 2t + 3e^{-t} \sin 2t$$

例 11.21求

$$\mathcal{L}^{-1} \left{ \frac{1}{(s + 1)^2(s^2 + 4)} \right}$$

解答将 $1/(s + 1)^2(s^2 + 4)$ 分解为部分分式可得

$$\begin{aligned} \frac{1}{(s + 1)^2(s^2 + 4)} &= \frac{\frac{2}{25}}{s + 1} + \frac{\frac{1}{5}}{(s + 1)^2} - \frac{1}{25} \frac{2s + 3}{s^2 + 4} \ &= \frac{\frac{2}{25}}{s + 1} + \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{s^2} \right]_{s \rightarrow s+1} - \frac{\frac{2}{25}}{s^2 + 2^2} - \frac{3}{50} \frac{2}{s^2 + 2^2} \end{aligned}$$