11.3.2 积分的变换

在某些应用中，系统的行为可以用积分微分方程来表示，即同时包含未知变量的导数和积分的方程。例如，由电阻 $i$ 、电感 $R$ 和电容 $L$ 组成的串联电路，在外加电压 $C$ 的作用下，其电流由下式给出 $E$ 为了直接求解这类方程，能够求出诸如

$$L \frac{di}{dt} + iR + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau) d\tau = E$$

这样的积分的拉普拉斯变换是很方便的。

记 $\int_0^t f(\tau) d\tau$ 我们有

$$g(t) = \int_0^t f(\tau) d\tau$$

取拉普拉斯变换，得

$$\frac{dg}{dt} = f(t), \quad g(0) = 0$$

$$\mathcal{L}\left{\frac{dg}{dt}\right} = \mathcal{L}{f(t)}$$

使用 (11.12) 后，得到

$$sG(s) = F(s)$$

或

$$\mathcal{L}{g(t)} = G(s) = \frac{1}{s}F(s) = \frac{1}{s}\mathcal{L}{f(t)}$$

从而得到结果

$$\mathcal{L}\left{\int_0^t f(\tau) d\tau\right} = \frac{1}{s}\mathcal{L}{f(t)} = \frac{1}{s}F(s) \quad (11.15)$$

例 11.22

求

$$\mathcal{L}\left{\int_0^t (\tau^3 + \sin 2\tau) d\tau\right}$$