解答 在本例中 $f(t) = t^3 + \sin 2t$ ，得

$$\begin{aligned} F(s) &= \mathcal{L}{f(t)} = +{t^3} + \mathcal{L}{\sin 2t} \ &= \frac{6}{s^4} + \frac{2}{s^2 + 4} \end{aligned}$$

因此，由 (11.15)，

$$\mathcal{L}\left{\int_0^t (\tau^3 + \sin 2\tau) d\tau\right} = \frac{1}{s} F(s) = \frac{6}{s^5} + \frac{2}{s(s^2 + 4)}$$

11.3.3 常微分方程

在得到了导数的拉普拉斯变换的表达式之后，我们现在可以使用拉普拉斯变换方法来求解上一章介绍的具有常系数的线性常微分方程。为说明这一点，考虑一般的二阶线性微分方程

$$a \frac{d^2 x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + cx = u(t) \quad (t \geq 0) \quad (11.16)$$

满足初始条件 $x(0) = x_0$ , $\dot{x}(0) = v_0$ 其中按惯例，点号表示对时间的求导， $t$ 。这样的微分方程可以模拟某个系统的动力学，其中变量 $x(t)$ 确定系统对强迫或激励项的响应 $u(t)$ 。术语系统输入和系统输出也常用于表示 $u(t)$ 和 $x(t)$ 分别为。由于该微分方程是线性且具有常系数的，因此由该模型描述的系统被称为线性时不变系统。

对 (11.16) 中的每一项取拉普拉斯变换，得

$$a \mathcal{L}\left{\frac{d^2 x}{dt^2}\right} + b \mathcal{L}\left{\frac{dx}{dt}\right} + c \mathcal{L}{x} = \mathcal{L}{u(t)}$$

利用 (11.12) 和 (11.13)，可得

$$a[s^2 X(s) - sx(0) - \dot{x}(0)] + b[sX(s) - x(0)] + cX(s) = U(s)$$

整理并代入给定的初始条件，得

$$(as^2 + bs + c)X(s) = U(s) + (as + b)x_0 + av_0$$

因此

$$X(s) = \frac{U(s) + (as + b)x_0 + av_0}{as^2 + bs + c} \quad (11.17)$$

方程 (11.17) 确定了响应的拉普拉斯变换 $X(s)$ 由此，通过取逆变换，即可得到所求的时间响应 $x(t)$ 。

在讨论具体例子之前，此处有几点值得注意。

(a) 正如我们已经指出的（见 11.3.1 节），使用拉普拉斯变换的一个显著优点是它使我们能够用代数运算代替微分运算