17 两个圆柱形水箱按图 11.22 所示方式连接。初始时顶部水箱中有 250 升水，底部水箱中有 50 升水。在时刻 $t = 0$ 打开两个水箱之间的阀门以及下方水箱底部的阀门。通过每个阀门的流量与该阀门正上方水箱中的水量成正比，两个阀门的比例常数均为 0.1。设顶部水箱中的水量为 $v_1$ 底部水箱中的水量为 $v_2$ ，证明它们满足以下微分方程：

$$\frac{dv_1}{dt} = -0.1v_1$$

$$\frac{dv_2}{dt} + 0.1v_2 = 0.1v_1$$

• (a) 用拉普拉斯变换求 v1 和 v2。
• (b) 求顶部水箱中的水量达到其初始值 10% 所需的时间。

图 11.22 第 17 题的圆柱形水箱。^K1

图 11.23 第 18 题的运输箱。

18 为了运输精密设备，将一个箱子安装在卡车内的减震弹簧上，如图 11.23 所示。卡车的悬挂系统（包括轮胎）可以建模为一个阻尼弹簧。图中标出了各个弹簧常数和阻尼常数。箱子和卡车的质量分别为 M1 和 M2，

它们偏离平衡位置的位移分别为 x1(t) 和 x2(t)。卡车行驶在颠簸路面上时的竖直位移可以通过对卡车施加力 u(t) 来建模。

证明箱子和卡车的运动可以用以下微分方程建模：

$$\begin{aligned} M_1 \ddot{x}_1 &= K_1(x_2 - x_1) + B_1(\dot{x}_2 - \dot{x}_1) \ M_2 \ddot{x}_2 &= u - (K_1 + K_2)x_2 + K_1x_1 \ &\quad - (B_1 + B_2)\dot{x}_2 + B_1\dot{x}_1 \end{aligned}$$

对于 $M_1 = 1$ , $M_2 = 3$ , $K_1 = 2$ , $K_2 = 1$ , $B_1 = 3$ , $B_2 = 2$ 和 $u(t) = \sin t$ , 且在时刻 $t = 0$ 处的初始条件为 $x_1 = x_2 = \dot{x}_1 = 0$ , $\dot{x}_2 = 2$ ，证明 $x_1(t)$ 的拉普拉斯变换为

$$X_1(s) = \frac{1s^3 + 12s^2 + 21s + 14}{(3s^4 + 14s^3 + 15s^2 + 7s + 2)(s^2 + 1)}$$

注：使用合适的软件包（如 MATLAB/SIMULINK），所建立的模型可作为各种场景仿真研究的基础。