944 拉普拉斯变换导论

图 11.20 题 12 的电路。

电阻为 R，如图 11.20 所示。证明流过电阻 R 的电流 i 由下式给出

$$LCR \frac{d^2i}{dt^2} + L \frac{di}{dt} + Ri = V$$ 假设

(i) $V = 0$ 当 $t < 0$ 且 $V = E$ （常数）当 $t \geq 0$

(ii) $L = 2R^2C$

(iii) $CR = 1/2n$

并证明该方程可化简为

$$\frac{d^2i}{dt^2} + 2n \frac{di}{dt} + 2n^2i = 2n^2 \frac{E}{R}$$ 因此，假设 $i = 0$ 和 $di/dt = 0$ 当 $t = 0$ 时，使用拉普拉斯变换求出 $i$ 用 $t$ 表示的表达式。

13 证明图 11.21 中耦合电路的电流由以下联立微分方程确定

$$L \frac{di}{dt} + R(i_1 - i_2) + Ri_1 = E$$

$$L \frac{di_2}{dt} + Ri_2 - R(i_1 - i_2) = 0$$ 求 $i_1$ 用 $t$ , $L$ , $E$ 和 $R$ 表示的表达式，已知 $i_1 = 0$ 和 $di_1/dt = E/L$ 在 $t = 0$ 处，并证明当 $i_1 \simeq \frac{2}{3} E/R$ 较大时 $t$ 。当 $i_2$ 较大时趋于什么？ $t$ ?

图 11.21 第 13 题的电路。

14 一个系统由两个单位质量组成，它们位于光滑表面的一条直线上，并通过三根弹簧连接到两个固定点。当对系统施加正弦力时，各质量偏离其平衡位置的位移 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 满足以下方程

$$\frac{d^2x_1}{dt^2} = x_2 - 2x_1 + \sin 2t$$ $$\frac{d^2x_2}{dt^2} = -2x_2 + x_1$$ 已知系统初始时静止于平衡位置（ $x_1 = x_2 = 0$ ），试用拉普拉斯变换法求解方程中的 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 。

15 (a) 求拉普拉斯逆变换