12.1 引言

将函数表示为级数的形式在数学中是相当常见的做法。最熟悉的展开式可能是如下形式的幂级数

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

其中被分解的分量或基集由幂函数组成

1, x, x ² , x ³ , p , x ⁿ , p

例如，我们记得指数函数可以用无穷级数表示为

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

将函数展开成这样的级数往往有很多优点，因为一个好的近似的前几项很容易处理。例如，可以逐项积分或求导，或者可以作出合适的函数近似。

幂函数只是函数展开的基集的一个例子；还可以使用许多其他的基集。特别地，傅里叶级数是周期函数的一种展开 $f(t)$ 周期为 $T = 2\pi/\omega$ 其中基集是正弦函数的集合，给出如下形式的展开表示

$$f(t) = = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\omega t + \phi_n)$$

尽管以这种级数形式展开函数的想法早已被伯努利、达朗贝尔和欧拉（约1750年）用于解决与弦振动相关的问题，但正是约瑟夫·傅里叶（1768–1830）将这一方法发展到了普遍适用的阶段。傅里叶是一位法国物理学家，他对热流问题很感兴趣：给定一个区域内所有点的初始温度，他关注的是确定温度分布随时间的变化。当傅里叶于1807年提出任意函数 f(x) 都可以用如下形式的三角级数表示时

$$\sum_{n=0}^{\infty} (A_n \cos nkx + B_n \sin nkx)$$

这一结果被认为是如此惊人，以至于遭到了当时一些顶尖数学家的强烈反对，特别是拉普拉斯、泊松，以及更重要的是拉格朗日——他被认为是历史上最伟大的数学家之一。他们以缺乏严谨性为由质疑他的工作，而很可能正是这种反对延误了傅里叶著作的出版，他的经典著作《热的解析理论》（Théorie Analytique de la Chaleur）直到1822年才问世。这部著作从此成为求解带有给定边界条件的偏微分方程相关实际问题的现代方法的源头。除热流之外，这类问题还包括结构振动、波的传播以及