扩散，这些内容在配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》中有讨论。为傅里叶的工作建立更严格的数学基础这一任务后来由狄利克雷（Dirichlet，约 1830 年）承担，随后由他在哥廷根大学的继任者黎曼（Riemann，约 1853 年）继续完成。

除了用于求解与偏微分方程相关的边值问题之外，傅里叶级数分析在工程中的许多其他应用中也处于核心地位，例如振荡系统与非线性系统的分析和设计。本章仅旨在对傅里叶级数作一介绍，更详细的论述——包括频谱、振荡与非线性系统以及广义傅里叶级数的讨论——将在《Advanced Modern Engineering Mathematics》中给出。

12.2 傅里叶级数展开

在本节中，我们将推导周期函数的傅里叶级数展开，并讨论这些级数对函数的逼近程度。我们还将说明如何利用函数的对称性质，以减少确定傅里叶级数时所涉及的数学推导工作量。首先，为了保持连贯性，我们回顾一下之前讨论过的周期函数的性质（见 2.2.6 节）。

12.2.1 周期函数

如果函数 f(t) 的像值在其定义域内以固定间隔重复出现，则称该函数为周期函数。因此，周期函数的图像可以划分为彼此完全相同的“竖直条带”，如图 12.1 所示。相邻两个相同条带之间的区间称为该函数的周期。因此，如果对于其定义域中的所有值 t，函数 f(t) 满足以 T 为周期，则

$$f(t + mT) = f(t)$$

其中 m 为任意整数。

为了衡量每单位 t 内重复出现的次数，我们将周期函数的频率定义为其周期的倒数，于是

$$\text{frequency} = \frac{1}{\text{period}} = \frac{1}{T}$$

图 12.1 以 T 为周期的周期函数。