12.2.3 傅里叶系数

在计算傅里叶系数之前，我们先给出以下积分，其中 $T = 2\pi/\omega$ :

$$\int_d^{d+T} \cos n\omega t , dt = \begin{cases} 0 & (n \neq 0) \ T & (n = 0) \end{cases} \quad (12.4)$$

$$\int_d^{d+T} \sin n\omega t , dt = 0 \quad (\text{all } n) \quad (12.5)$$

$$\int_d^{d+T} \sin m\omega t \sin n\omega t , dt = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \ \frac{1}{2}T & (m = n \neq 0) \end{cases} \quad (12.6)$$

$$\int_d^{d+T} \cos m\omega t \cos n\omega t , dt = \begin{cases} 0 & (m \neq n) \ \frac{1}{2}T & (m = n \neq 0) \end{cases} \quad (12.7)$$

$$\int_d^{d+T} \cos m\omega t \sin n\omega t , dt = 0 \quad (\text{all } m \text{ and } n) \quad (12.8)$$

结果 (12.4)–(12.8) 构成了正弦和余弦函数的正交关系，并表明函数集合

$${1, \cos \omega t, \cos 2\omega t, \dots, \cos n\omega t, \sin \omega t, \sin 2\omega t, \dots, \sin n\omega t}$$

是区间上的一个正交函数集 $d \leq t \leq d + T$ 。在这些结果中， $d$ 的选取是任意的，只需在长度为 $T$ 的一个周期上进行积分即可。

将级数 (12.3) 关于 $t$ 在区间 $t = d$ 到 $t = d + T$ 上积分，并利用 (12.4) 和 (12.5)，我们发现右边的每一项都为零，除了包含 $a_0$ 的那一项；也就是说，我们有

$$\begin{aligned} \int_d^{d+T} f(t) , dt &= \frac{1}{2} a_0 \int_d^{d+T} dt + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \int_d^{d+T} \cos n\omega t , dt + b_n \int_d^{d+T} \sin n\omega t , dt \right) \ &= \frac{1}{2} a_0 (T) + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n(0) + b_n(0)] \ &= \frac{1}{2} T a_0 \end{aligned}$$

因此

$$\frac{1}{2} a_0 = \frac{1}{T} \int_d^{d+T} f(t) , dt$$

我们可以看到常数项 $\frac{1}{2} a_0$ 在傅里叶级数展开中表示函数的平均值 $f(t)$ 在一个周期内。对于电信号，它表示偏置电平或直流（d.c.）分量。因此

$$a_0 = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) , dt \quad (12.9)$$