假设可以逐项积分，并利用 (12.5)、(12.6) 和 (12.8)，我们发现右端唯一的非零积分出现在第二个求和中，当 $m = n$ 。也就是说，我们有

$$\int_d^{d+T} f(t) \sin m\omega t , dt = b_m \int_d^{d+T} \sin m\omega t \sin m\omega t , dt = \frac{1}{2} b_m T$$

给出，在替换 $m$ 为 $n$ ,

$$b_n = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) \sin n\omega t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad (12.12)$$

给出傅里叶系数的方程 (12.11) 和 (12.12) 被称为欧拉公式。

总结

总而言之，我们已经证明，如果周期为 $f(t)$ 的周期函数 $T = 2\pi/\omega$ 可以展开为傅里叶级数，那么该级数由下式给出

$$f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \omega t + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \omega t \quad (12.3)$$

其中系数由欧拉公式给出

$$a_n = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) \cos n\omega t , dt \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \quad (12.11)$$

$$b_n = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) \sin n\omega t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad (12.12)$$

欧拉公式中的积分限可以取任意一个周期，因此可以选择 $d$ 是任意的，并且可以以有助于计算 $a_n$ 和 $b_n$ 的方式来选取。在实践中，通常指定 $f(t)$ 在周期 $-\frac{1}{2}T < t < \frac{1}{2}T$ 或周期 $0 < t < T$ 上，分别导致积分限为 $-\frac{1}{2}T$ 和 $\frac{1}{2}T$ （即 $d = -\frac{1}{2}T$ ）或 0 和 $T$ （即 $d = 0$ ）。

还值得注意的是，另一种方法可以简化 $a_n$ 和 $b_n$ 的计算。利用公式

$$e^{jn\omega t} = \cos n\omega t + j \sin n\omega t$$

我们有

$$a_n + jb_n = \frac{2}{T} \int_d^{d+T} f(t) e^{j\omega t} dt \quad (12.13)$$

计算此积分并使等式两边的实部和虚部分别相等，即可得到 $a_n$ 和 $b_n$ 的值。当只需要 $|a_n + jb_n|$ 次谐波的幅值 $n$ 时，这种方法特别有用。