12.2.4 周期函数 $2\pi$

如果周期函数的周期 $T$ 取为 $f(t)$ ，那么 $2\pi$ 且级数 (12.3) 变为 $\omega = 1$ 其中系数由下式给出

$$f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nt + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nt \quad (12.14)$$

虽然单位频率在实践中很少遇到，但考虑这一特殊情况可以减少确定系数

$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_d^{d+2\pi} f(t) \cos nt , dt \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \quad (12.15)$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_d^{d+2\pi} f(t) \sin nt , dt \quad (n = 1, 2, \dots) \quad (12.16)$$

和 $a_n$ 时所需的数学推导。此外，考虑这种情况并不失一般性，因为如果我们有一个函数 $b_n$ $f(t)$ 周期为 $T$ ，我们可以写出 $t_1 = 2\pi t/T$ ，使得

$$f(t) \equiv f\left(\frac{Tt_1}{2\pi}\right) \equiv F(t_1)$$

其中 $F(t_1)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数。也就是说，通过一个简单的变量替换，周期为 $f(t)$ 的周期函数 $T$ 可以变换为周期为 $F(t_1)$ 的周期函数 $2\pi$ 。因此，为了初步了解傅里叶级数并讨论其一些性质，我们将首先考虑周期为 $2\pi$ , 回到周期不为 $2\pi$ 的函数（见第 12.2.10 节）。

例 12.1

求周期函数 $f(t)$ 的傅里叶级数展开式，其周期为 $2\pi$ ，定义为

$$f(t) = t \quad (0 < t < 2\pi), \quad f(t) = f(t + 2\pi)$$

解

函数 $f(t)$ 在区间 $-4\pi < t < 4\pi$ 上的草图如图 12.2 所示。

图 12.2
例 12.1 的锯齿波。

由于该函数是周期函数，我们只需画出它在一个周期上的图形，其余周期上的图形按此模式重复。利用 (12.15) 计算傅里叶系数 $a_0$ 和 $a_n$ 给出

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^2 \pi f(t) , dt = \frac{1}{\pi} \int_0^2 \pi t , dt = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 2\pi$$