以及

$$\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \cos nt , dt \quad (n = 1, 2, \dots) \ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} t \cos nt , dt \end{aligned}$$

对它进行分部积分，得到

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ t \frac{\sin nt}{n} + \frac{\cos nt}{n^2} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{\pi} \left( \frac{2\pi}{n} \sin 2n\pi + \frac{1}{n^2} \cos 2n\pi - \frac{\cos 0}{n^2} \right) = 0$$

由于 $\sin 2n\pi = 0$ 以及 $\cos 2n\pi = \cos 0 = 1$ 。注意在本例中需要将 $a_0$ 与 $a_n$ 分开计算。关于 $b_n$ 的公式 (12.16) 给出

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \sin nt , dt \quad (n = 1, 2, \dots) \ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} t \sin nt , dt \end{aligned}$$

对它进行分部积分，得到

$$\begin{aligned} b_n &= \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{t}{n} \cos nt + \frac{\sin nt}{n^2} \right]_0^{2\pi} \ &= \frac{1}{\pi} \left( -\frac{2\pi}{n} \cos 2n\pi \right) \quad (\text{since } \sin 2n\pi = \sin 0 = 0) \ &= -\frac{2}{n} \quad (\text{since } \cos 2n\pi = 1) \end{aligned}$$

因此由 (12.14)，… 的傅里叶级数展开为 $f(t)$ 是

$$f(t) = \pi - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n} \sin nt$$

或写成展开形式，

$$f(t) = \pi - 2 \left( \sin t + \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} + \dots + \frac{\sin nt}{n} + \dots \right)$$

例 12.2

一个周期函数 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 定义为

$$f(t) = t^2 + t \quad (-\pi < t < \pi), \quad f(t) = f(t + 2\pi)$$

画出函数的图像 $f(t)$ 对于 $t$ 从 $t = -3\pi$ 到 $t = 3\pi$ 的值，并求该函数的傅里叶级数展开。