因此由 (12.14) 可得傅里叶级数展开为 $f(t)$ 是

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^2}(-1)^n \cos nt - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}(-1)^n \sin nt$$

或者，写成展开形式，

$$f(t) = \frac{1}{3}\pi^2 + 4\left(-\cos t + \frac{\cos 2t}{2^2} - \frac{\cos 3t}{3^2} + \dots\right) + 2\left(\sin t - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} + \dots\right)$$

为了说明另一种方法，利用 (12.13) 可得

$$\begin{aligned} a_n + jb_n &= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)e^{jnt} dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (t^2 + t)e^{jnt} dt \ &= \frac{1}{\pi} \left[ \left[ \frac{t^2 + t}{jn} e^{jnt} \right]{-\pi}^{\pi} - \int{-\pi}^{\pi} \frac{2t + 1}{jn} e^{jnt} dt \right] \ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{t^2 + t}{jn} e^{jnt} - \frac{2t + 1}{(jn)^2} e^{jnt} + \frac{2e^{jnt}}{(jn)^3} \right]_{-\pi}^{\pi} \end{aligned}$$

由于

$$e^{jn\pi} = \cos n\pi + j \sin n\pi = (-1)^n$$

$$e^{-jn\pi} = \cos n\pi - j \sin n\pi = (-1)^n$$

且 $1/j = -j$ ，则

$$\begin{aligned} a_n + jb_n &= \frac{(-1)^n}{\pi} \left( -j \frac{\pi^2 + \pi}{n} + \frac{2\pi + 1}{n^2} + \frac{j2}{n^3} + j \frac{\pi^2 - \pi}{n} - \frac{1 - 2\pi}{n^2} - \frac{j2}{n^3} \right) \ &= (-1)^n \left( \frac{4}{n^2} - j \frac{2}{n} \right) \end{aligned}$$

令实部和虚部分别相等，与前面一样，可得

$$a_n = \frac{4}{n^2}(-1)^n, \quad b_n = -\frac{2}{n}(-1)^n$$

周期函数 $f(t)$ 可以在一个周期上以分段方式给出，或者，实际上它在一个周期上可能只是分段连续的，如图 12.4 所示。在这种情况下，为了计算傅里叶系数，有必要将欧拉公式中的积分区间拆分，以对应函数的各个组成部分。例如，对于图 12.4 所示的函数， $f(t)$ 定义在区间内 $-\pi < t < \pi$ 由

$$f(t) = \begin{cases} f_1(t) & (-\pi < t < -\pi) \ f_2(t) & (-\pi < t < q) \ f_3(t) & (q < t < \pi) \end{cases}$$