图 12.4
一个周期内的 分段连续函数。

且是以 为周期的周期函数 $2\pi$ 。用于傅里叶系数的欧拉公式 (12.15) 和 (12.16) 变为

$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{-p} f_1(t) \cos nt , dt + \int_{-p}^q f_2(t) \cos nt , dt + \int_q^{\pi} f_3(t) \cos nt , dt \right]$$

$$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{-p} f_1(t) \sin nt , dt + \int_{-p}^q f_2(t) \sin nt , dt + \int_q^{\pi} f_3(t) \sin nt , dt \right]$$

例 12.3

一个周期函数 $f(t)$ 周期为 $2\pi$ 在周期内定义为 $0 \leq t \leq 2\pi$ 如下

$$f(t) = \begin{cases} t & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}\pi) \ \frac{1}{2}\pi & (\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \pi) \ \pi - \frac{1}{2}t & (\pi \leq t \leq 2\pi) \end{cases}$$

画出 $f(t)$ 在 $-2\pi \leq t \leq 3\pi$ 上的图像，并求其傅里叶级数展开。

解

函数 $f(t)$ 的 $-2\pi \leq t \leq 3\pi$ 图像如图 12.5 所示。

图 12.5
例 12.3 中函数
$f(t)$ 的图像。

由 (12.15)，

$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(t) dt = \frac{1}{\pi} \left[ \int_0^{\pi/2} t , dt + \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1}{2} \pi , dt + \int_{\pi}^{2\pi} \left( \pi - \frac{1}{2}t \right) dt \right] = \frac{5}{8}\pi$$