因此由 (12.14) 可得 f(t) 的傅里叶级数展开式为

$$\begin{aligned} f(t) &= \frac{5}{16}\pi - \frac{2}{\pi} \left( \cos t + \frac{\cos 3t}{3^2} + \frac{\cos 5t}{5^2} + \dots \right) \ &\quad - \frac{2}{\pi} \left( \frac{\cos 2t}{2^2} + \frac{\cos 6t}{6^2} + \frac{\cos 10t}{10^2} + \dots \right) \ &\quad + \frac{1}{\pi} \left( \sin t - \frac{\sin 3t}{3^2} + \frac{\sin 5t}{5^2} - \frac{\sin 7t}{7^2} + \dots \right) \end{aligned}$$

在处理傅里叶级数时，MATLAB 符号数学工具箱的一个主要用途是避免在确定系数 an 和 bn 时所涉及的繁琐且容易出错的积分。因此，建议使用该工具箱来检验积分的准确性。

12.2.5 偶函数与奇函数

注意到某个函数具有特定的对称性质，使我们既能判断该函数的傅里叶级数展开式中缺少哪些项，又能简化确定其余系数的表达式。本节讨论偶函数和奇函数的对称性，下一节将讨论由偶次和奇次谐波引起的对称性。

首先我们回顾偶函数和奇函数的性质（在 2.2.6 节中已讨论），这些性质对确定傅里叶系数很有用。如果 $f(t)$ 是偶函数，则 $f(t) = f(-t)$ 对所有 $t$ 都成立，且函数的图像关于纵轴对称，如图 12.6(a) 所示。根据积分的定义，如果 $f(t)$ 是偶函数，则

$$\int_{-a}^a f(t) dt = 2 \int_0^a f(t) dt$$

如果 $f(t)$ 是奇函数，则 $f(t) = -f(-t)$ 对所有 $t$ , 且函数的图像关于原点对称；也就是说，存在对角象限对称性，如图 12.6(b) 所示。由此可知，若 $f(t)$ 是奇函数，则

$$\int_{-a}^a f(t) dt = 0$$

以下关于偶函数和奇函数的性质对我们的目的也很有用：

• (a) 两个（或多个）奇函数的和是一个奇函数；
• (b) 两个偶函数的积是一个偶函数；
• (c) 两个奇函数的积是一个偶函数；
• (d) 一个奇函数与一个偶函数的积是一个奇函数；
• (e) 偶函数的导数是一个奇函数；
• (f) 奇函数的导数是一个偶函数。

(a)

(b)

图 12.6 (a) 偶函数和 (b) 奇函数的图像。