利用这些性质，并在 (12.11) 和 (12.12) 中取 $d = -\frac{1}{2}T$ ，我们得到以下结果：

• (i) 若 f(t) 是周期为 T 的偶周期函数，则

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos n\omega t , dt = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \cos n\omega t , dt$$

利用性质 (b)，且

$$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt = 0$$

利用性质 (d)。

因此，周期为 T 的偶周期函数 f(t) 的傅里叶级数展开仅包含余弦项，并且由 (12.3) 可得

$$f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n\omega t \quad (12.17)$$

其中

$$a_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \cos n\omega t \quad (n = 0, 1, 2, \dots) \quad (12.18)$$

• (ii) 若 f(t) 是周期为 T 的奇周期函数，则

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos n\omega t , dt = 0$$

利用性质 (d)，且

$$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt$$

利用性质 (c)。

因此，周期为 T 的奇周期函数 f(t) 的傅里叶级数展开仅包含正弦项，并且由 (12.3) 可得

$$f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n\omega t \quad (12.19)$$

其中

$$b_n = \frac{4}{T} \int_0^{T/2} f(t) \sin n\omega t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots) \quad (12.20)$$