取 $T = 4$ 在 (12.11) 和 (12.12) 中，我们得到

$$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 f(t) dt = \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^0 0 dt + \int_0^2 1 dt \right) = 1$$

$$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 f(t) \cos \frac{1}{2} n \pi t dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^0 0 dt + \int_0^2 \cos \frac{1}{2} n \pi t dt \right) = 0$$

以及

$$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 f(t) \sin \frac{1}{2} n \pi t dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

$$= \frac{1}{2} \left( \int_{-2}^0 0 dt + \int_0^2 \sin \frac{1}{2} n \pi t dt \right) = \frac{1}{n\pi} (1 - \cos n\pi) = \frac{1}{n\pi} [1 - (-1)^n]$$

$$= \begin{cases} 0 & (\text{even } n) \ 2/n\pi & (\text{odd } n) \end{cases}$$

因此，由 (12.10)，的傅里叶级数展开为 $f(t)$ 是

$$f(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \left( \sin \frac{1}{2} \pi t + \frac{1}{3} \sin \frac{3}{2} \pi t + \frac{1}{5} \sin \frac{5}{2} \pi t + \dots \right)$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \sin \frac{1}{2} (2n-1) \pi t$$

例 12.10

一个周期为 2 的周期函数 $f(t)$ 定义为

$$f(t) = \begin{cases} 3t & (0 < t < 1) \ 3 & (1 < t < 2) \end{cases}$$

$$f(t+2) = f(t)$$

画出 $f(t)$ 在 $-4 \leq t \leq 4$ 上的图像，并求该函数的傅里叶级数展开。

解 的图像 $f(t)$ for $-4 \leq t \leq 4$ 如图 12.14 所示。

图 12.14
函数 $f(t)$
来自例 12.10。