是

$$f(t) = \frac{2}{3}\pi^2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{2}{n^2} \cos nt + \frac{(-1)^n}{n} \pi \sin nt \right] - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)t}{(2n-1)^3}$$

利用这个结果证明

$$(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{6}\pi^2 \quad (b) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{1}{12}\pi^2$$

6 一个周期为 $f(t)$ 的周期函数 $2\pi$ 在定义域 $0 \leq t \leq \pi$ 内定义为

$$f(t) = \begin{cases} t & (0 \leq t \leq \frac{1}{2}\pi) \ \pi - t & (\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \pi) \end{cases}$$

画出 $f(t)$ 在 $-2\pi < t < 4\pi$ 的图像，针对以下两种情况：

(a) $f(t)$ 是偶函数；

(b) $f(t)$ 是奇函数。

求表示该偶函数对所有值都成立的傅里叶级数展开式 $t$ ，并用它证明

$$\frac{1}{8}\pi^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2}$$

7 一个周期为 $f(t)$ 的周期函数 $2\pi$ 在一个周期内定义为 $0 \leq t \leq 2\pi$ 由下式给出：

$$f(t) = \begin{cases} 2 - t/\pi & (0 \leq t \leq \pi) \ t/\pi & (\pi \leq t \leq 2\pi) \end{cases}$$

画出该函数在 $-4\pi \leq t \leq 4\pi$ 时的图像，并求出其傅里叶级数展开式。

通过将 $t$ 替换为 $t - \frac{1}{2}\pi$ ，证明该周期函数 $f(t - \frac{1}{2}\pi) - \frac{3}{2}$ 由奇次谐波的级数表示。

12.2.10 周期为 的函数 $T$

尽管所有结果都与周期为 的周期函数相关， $T$ 但到目前为止我们考虑的所有例子都涉及周期为 的周期函数 $2\pi$ 。这样做主要是为了在初步了解傅里叶级数时便于确定傅里叶系数。如前所述（见第 12.2.4 节），单位频率的函数（即周期为 $2\pi$ 的函数）在实践中很少遇到，因此本节我们考虑周期不为 的周期函数的例子。 $2\pi$ .

例 12.9

周期函数 $f(t)$ 的周期为 4（即， $f(t + 4) = f(t)$ ）在区间 $-2 < t < 2$ 内定义为

$$f(t) = \begin{cases} 0 & (-2 < t < 0) \ 1 & (0 < t < 2) \end{cases}$$

绘制以下函数的图像 $f(t)$ 对于 $-6 \leq t \leq 6$ 并求该函数的傅里叶级数展开。

解 图像 $f(t)$ 对于 $-6 \leq t \leq 6$ 如图 12.13 所示。

图 12.13
例 12.9 中的函数 $f(t)$ 。