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12.3 定义在有限区间上的函数
傅里叶定理的要求之一是待展开的函数必须是周期性的。因此，一个非周期函数 $f(t)$ 不可能有一个收敛到它对所有取值的傅里叶级数表示 $t$ 。然而，我们可以得到一个表示非周期函数的傅里叶级数展开，该函数仅在有限时间区间 $f(t)$ 上有定义。这是实践中经常用来解决问题的方法，特别是涉及偏微分方程的边值问题，例如沿棒的热传导或弦的振动。在区间 $0 \leq t \leq \tau$ 内有效的 $f(t)$ 的各种形式的傅里叶级数表示都是可能的，包括仅由余弦项组成的级数或仅由正弦项组成的级数。为了得到这些级数，需要构造 $0 \leq t \leq \tau$ 的各种周期延拓。 $f(t)$ 12.3.1 全区间级数
假设给定的函数
仅在有限时间区间上有定义。 $f(t)$ $0 \leq t \leq \tau$ . 然后，为了得到 $f(t)$ 的完整傅里叶级数表示（即同时包含余弦项和正弦项的级数），我们定义周期延拓 $\phi(t)$ 为
8 求周期函数
$$f(t) = t \quad (-l < t < l)$$
$$f(t + 2l) = f(t)$$
9 周期函数 $f(t)$ 的周期为 $2l$ 在一个周期内定义为
$$f(t) = \begin{cases} -\frac{K}{l}(l + t) & (-l < t < 0) \ \frac{K}{l}(l - t) & (0 < t < l) \end{cases}$$
求其傅里叶级数展开，并对 $-3l < t < 3l$ 作图说明。
10 周期为 10 的周期函数在一个周期内定义为 $-5 < t < 5$ 为
$$f(t) = \begin{cases} 0 & (-5 < t < 0) \ 3 & (0 < t < 5) \end{cases}$$
求其傅里叶级数展开，并对 $-12 < t < 12$ 。
11 将正弦电压 A sin wt 通过半波整流器，产生如图 12.15 所示的削波正弦波。求该整流波的傅里叶级数展开。
12 求周期函数的傅里叶级数展开
$$f(t) = t^2 \quad (-T < t < T)$$
$$f(t + 2T) = f(t)$$
并用图形说明 $-3T < t < 3T$ 。
13 求周期电压的傅里叶级数表示 $e(t)$ 如图 12.16 所示。
图 12.15 第 11 题的整流正弦波。
图 12.16 第 13 题的电压 $e(t)$ 。