$f(t)$ 由

$$\phi(t) = f(t) \quad (0 < t < \tau)$$

$$\phi(t + \tau) = \phi(t)$$

一个可能的图像及其周期延拓 $f(t)$ 的图像分别如图 12.17(a) 和 (b) 所示。

只要 $\phi(t)$ 在区间 $f(t)$ 内满足狄利克雷条件，新函数 $0 \leq t \leq \tau$ （周期为 $\phi(t)$ ）就将有一个收敛的傅里叶级数展开。由于在特定周期 $\tau$ 内它与 $0 < t < \tau$ , $\phi(t)$ 完全相同，因此该傅里叶级数展开的 $f(t)$ 的 $\phi(t)$ 将代表 $f(t)$ 在此区间内。

例 12.11 求 $f(t) = t$ 的有效区间为有限区间 $0 < t < 4$ 的全范围傅里叶级数展开式。画出 $f(t)$ 以及所得傅里叶级数所表示的周期函数两者的图形。

解 定义周期函数 $\phi(t)$ 为

$$\phi(t) = f(t) = t \quad (0 < t < 4)$$

$$\phi(t + 4) = \phi(t)$$

图 12.7

仅在 (a) 有限区间 $0 \leq t \leq \tau$ 上定义的函数的图形，以及 (b) 其周期延拓的图形。

图 12.18
函数 $f(t)$ 和 $\phi(t)$ 例12.11的。

那么 $f(t)$ 及其周期延拓 $\phi(t)$ 的图像分别如图12.18(a)和(b)所示。由于 $\phi(t)$ 是周期为4的周期函数，它有收敛的傅里叶级数展开。在(12.11)和(12.12)中取 $T = 4$ ，傅里叶系数确定为

$$a_0 = \frac{1}{2} \int_0^4 f(t) dt = \frac{1}{2} \int_0^4 t dt = 4$$

$$a_n = \frac{1}{2} \int_0^4 f(t) \cos \frac{1}{2} n \pi t , dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

$$= \frac{1}{2} \int_0^4 t \cos \frac{1}{2} n\pi t , dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{2t}{n\pi} \sin \frac{1}{2} n\pi t + \frac{4}{(n\pi)^2} \cos \frac{1}{2} n\pi t \right]_0^4 = 0$$