化简为

$$\int_0^\pi [a_0 - x(\theta)] d\theta = 0$$

利用……的积分性质后 $\cos k\theta$ 在 $(0, \pi)$ 对于 $k = 1, \dots, 4$ 。因此

$$\int_0^\pi a_0 , d\theta = \int_0^\pi x(\theta) , d\theta$$

得到

$$\int_0^\infty a_0 d\theta = \int_0^\infty x(\theta) d\theta$$

利用被积函数关于……的对称性质后 $x = \frac{1}{2}\pi$ 。该积分需用数值方法计算，使用梯形法则，我们得到其值为 $a_0 = 2.9148$ 。

类似地， $\partial I/\partial a_1 = 0$ 给出

$$\int_0^\pi 2[a_0 + a_1 \cos \theta + a_2 \cos 2\theta + a_3 \cos 3\theta + a_4 \cos 4\theta - x(\theta)] \cos \theta d\theta = 0$$

化简为

$$\int_0^\pi [a_1 \cos^2 \theta - x(\theta) \cos \theta] d\theta = 0$$

因此

$$\int_0^\pi a_1 \cos^2 \theta , d\theta = \int_0^\pi x(\theta) \cos \theta , d\theta$$

由此得到

$$\int_0^\pi a_1 \cos^2 \theta d\theta = \int_0^\pi x(\theta) \cos \theta d\theta$$

利用被积函数的对称性。因此 $a_1 = 1$ .

以同样的方式继续，我们得到

$$\int_0^\pi a_2 \cos^2 2\theta , d\theta = \int_0^\pi x(\theta) \cos 2\theta , d\theta$$

$$\int_0^\pi a_3 \cos^2 3\theta , d\theta = \int_0^\pi x(\theta) \cos 3\theta , d\theta$$

以及

$$\int_0^\pi a_4 \cos^2 4\theta , d\theta = \int_0^\pi x(\theta) \cos 4\theta , d\theta$$