12.6 复习题 (1–21)

尽可能使用 MATLAB 核对你的答案。

1 周期函数 $f(t)$ 定义为

$$f(t) = \begin{cases} t^2 & (0 \leq t < \pi) \ 0 & (\pi < t \leq 2\pi) \ f(t + 2\pi) = f(t) \end{cases}$$

求 $f(t)$ 的傅里叶级数展开式，并由此推出

$$\frac{1}{6}\pi^2 = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{r^2}$$

2 确定周期为 $f(t)$ 的偶函数 $2\pi$ 的全范围傅里叶级数展开式，该函数定义为

$$f(t) = \begin{cases} \frac{2}{3}t & (0 \leq t \leq \frac{1}{3}\pi) \ \frac{1}{3}(\pi - t) & (\frac{1}{3}\pi \leq t \leq \pi) \end{cases}$$

该级数在 $t = \frac{1}{3}\pi$ 处收敛于什么值？

3 函数 $f(t)$ 定义为 $0 \leq t \leq \frac{1}{2}T$ 由

$$f(t) = \begin{cases} t & (0 \leq t \leq \frac{1}{4}T) \ \frac{1}{2}T - t & (\frac{1}{4}T \leq t \leq \frac{1}{2}T) \end{cases}$$

绘制周期为的奇函数和偶函数的草图 $T$ 且等于 $f(t)$ 对于 $0 \leq t \leq \frac{1}{2}T$ 。

(a) 求 $f(t)$ 的半程傅里叶正弦级数。
(b) 当 $t = -\frac{1}{4}T$ 时，该级数收敛于什么值？
(c) 下列级数的和是多少？

$$S = \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(2r-1)^2}$$

4 交变发电机气隙中的磁动势 $y$ 可以近似地用图 12.25 所示形式的图形表示。求其傅里叶级数 $y$ , 并事先说明理由，说明你预期会发现哪些特殊性质。 $P$ 是一个恒定振幅。

图 12.25 用于 $f(t)$ 的数据（见第 4 题）。

5 证明：若 $g(x)$ 是奇函数， $f(x)$ 是偶函数，则乘积 $x$ 是奇函数，若 $g(x)[c + f(x)]$ 是常数。
周期为 $c$ 的周期函数定义为： $2\pi$

$$F(\theta) = \frac{1}{12}\theta(\pi^2 - \theta^2)$$

在区间内 $-\pi \leq \theta \leq \pi$ 。证明该函数的傅里叶级数表示为

$$F(\theta) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^3} \sin n\theta$$

6 一个周期为 $2\pi$ 的重复波形由下式描述

$$f(t) = \begin{cases} \pi + t & (-\pi \leq t \leq -\frac{1}{2}\pi) \ -t & (-\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \frac{1}{2}\pi) \ t - \pi & (\frac{1}{2}\pi \leq t \leq \pi) \end{cases}$$

在范围 $t = -2\pi$ 到 $t = 2\pi$ 内绘制该波形的草图，并求 $f(t)$ 的傅里叶级数表示，在进行任何积分之前，先利用你能识别出的波形的任何性质。

7 函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，定义为

$$f(x) = \begin{cases} -2x & (-\pi < x \leq 0) \ 2x & (0 < x \leq \pi) \end{cases}$$

绘制以下函数的图像 $f(x)$ 从 $-2\pi$ 到 $3\pi$ 并证明

$$f(x) = \pi - \frac{8}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \cos(2n+1)x$$