因此证明

$$\frac{1}{8}\pi^2 = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$$

8 一个周期为 $f(x)$ 的函数 $2\pi$ 在区间 $-\pi \leq x \leq \pi$ 内定义为

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}\pi + x & (-\pi \leq x \leq 0) \ \frac{1}{2}\pi - x & (0 \leq x \leq \pi) \end{cases}$$

画出 $f(x)$ 在区间 $-3\pi \leq x \leq 3\pi$ 上的图像。将 $f(x)$ 表示为傅里叶级数，并由此推导出 $\pi$ 的一个数值级数。

9 一个周期为 $2\pi$ 定义为 $0 \leq x \leq 2\pi$ 由

$$f(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq \frac{1}{2}\pi) \ \frac{1}{2}\pi & (\frac{1}{2}\pi < x \leq \pi) \ -\frac{1}{2}\pi & (\pi < x \leq \frac{3}{2}\pi) \ x - 2\pi & (\frac{3}{2}\pi \leq x \leq 2\pi) \end{cases}$$

绘制草图 $f(x)$ 对于 $-2\pi \leq x \leq 4\pi$ 并证明其傅里叶级数表示为

$$f(x) = \left(1 + \frac{2}{\pi}\right) \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \left(1 - \frac{2}{3\pi}\right) \sin 3x - \frac{1}{4} \sin 4x + \dots$$

将该级数表示为一般形式。

10 一个波形定义为 $V(t) = 10e^{-3t}$ 对于 $0 \leq t < 0.4$ 和 $V(t) = V(t - 0.4)$ 对所有 $t$ 。绘制以下函数的图像 $V$ , $dV/dt$ 和 $\int_0^t V dt$ 。

将 $V$ 展开为傅里叶级数，并证明其 $n$ 次谐波的振幅约为 $2.22/n$ 。

11 函数 $f(x)$ 定义在区间 $-1 \leq x \leq 1$ 上，表达式为

$$f(x) = \begin{cases} 1/2\epsilon & (-\epsilon < x < \epsilon) \ 0 & (-1 \leq x < -\epsilon; \epsilon < x \leq 1) \end{cases}$$

画出 $f(x)$ 的图像，并证明 $f(x)$ 在区间内有效的傅里叶级数展开为 $-1 \leq x \leq 1$ 由下式给出

$$f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\pi\epsilon}{n\pi\epsilon} \cos n\pi x$$

12 证明函数的半程傅里叶正弦级数为

$$f(t) = \left(1 - \frac{t}{\pi}\right)^2 \quad (0 \leq t \leq \pi)$$

为

$$f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \left{1 - \frac{2}{n^2\pi^2}[1 - (-1)^n]\right} \sin nt$$

13 求下列函数的半程傅里叶正弦级数和傅里叶余弦级数 $f(x)$ 在区间内有效 $0 < x < \pi$ 当 $f(x)$ 由下式定义

$$f(x) = \begin{cases} x & (0 \leq x \leq \frac{1}{2}\pi) \ \pi - x & (\frac{1}{2}\pi \leq x \leq \pi) \end{cases}$$

画出所求得的傅里叶级数在 上的图像。

14 函数 $-2\pi < x \leq 2\pi$ 是以 为周期的周期函数 $f(x)$ $2\pi$ 且定义为 $f(x) = e^x$ ( $-\pi < x < \pi$ ）。画出 $f(x)$ 从 $x = -2\pi$ 到 $x = 2\pi$ 的图像，并证明

$$f(x) = \frac{2 \sinh \pi}{\pi} \left[ \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + n^2} (\cos nx - n \sin nx) \right]$$

15 函数 $f(t)$ 定义在 $0 < t < \pi$ 上，表达式为

$$f(t) = \pi - t$$

求

(a) 半傅里叶正弦级数，以及
(b) 半傅里叶余弦级数

针对 $f(t)$ 对以下区间有效 $0 < t < \pi$ 。

画出下列每个级数所表示的函数在 $-2\pi < t < 2\pi$ 上的图像。

16 一个周期为 2 的周期函数 $f(t)$ 在区间 $-1 < t < 1$ 内定义为

$$f(t) = 1 - t^2$$

画出 $f(t)$ 在 $-3 < t < 3$ 上的图像，并求出它的傅里叶级数展开式。

17 (a) 不实际求出级数，指出对于下列周期为的周期函数，你预期其傅里叶级数中会出现哪些项 $2\pi$ :

(i) $f(t) = \sin^2 t$ , $-\pi \leq t \leq \pi$