(ii) $f(t) = 3e^{-t}$ , $-\pi \leq t \leq \pi$

(iii) $f(t) = \begin{cases} 0, & -\pi < t < 0 \ 1, & 0 < t < \pi \end{cases}$

(b) 求，直到并包含该项 $\cos 4t$ ，即由下式定义的函数的傅里叶半程余弦级数

$$f(t) = \begin{cases} t^2, & 0 < t < \pi/2 \ 0, & \pi/2 < t < \pi \end{cases}$$

18 (a) 一个周期函数 $f(t)$ ，周期为 $2\pi$ ，定义在 $-\pi \leq t \leq \pi$ 上为

$$f(t) = \begin{cases} -t & (-\pi \leq t \leq 0) \ t & (0 \leq t \leq \pi) \end{cases}$$

求 $f(t)$ 的傅里叶级数展开。

(b) 通过对 (a) 中所得级数进行形式上的求导，求出该周期方波的傅里叶级数展开

$$g(t) = \begin{cases} -1 & (-\pi < t < 0) \ 0 & (t = 0) \ 1 & (0 < t < \pi) \end{cases}$$

$$g(t + 2\pi) = g(t)$$

通过直接求出以下函数的傅里叶级数展开来检验你的结果的正确性 $g(t)$ 。

19 图 12.26 所示的周期波形 $f(t)$ 可以写成

$$f(t) = 1 + g(t)$$

图 12.26 第 19 题的波形 $f(t)$ 。

其中 $g(t)$ 表示一个奇函数。

• (a) 画出 $g(t)$ .
• 的图像 $g(t)$ (b) 求出 $f(t)$ 的傅里叶级数展开，从而写出以下函数的傅里叶级数展开：

20 证明傅里叶级数

$$\frac{1}{2}\pi - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t}{(2n-1)^2}$$

表示函数 $f(t)$ ，其周期为 $2\pi$ ，由下式给出

$$f(t) = \begin{cases} t & (0 \leq t \leq \pi) \ -t & (-\pi \leq t \leq 0) \end{cases}$$

证明：除瞬态分量（即随 $t \rightarrow \infty$ 衰减消失的余函数）外，微分方程

$$\frac{dx}{dt} + x = f(t)$$

的解为

$$x = \frac{1}{2}\pi - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n-1)t + (2n-1)\sin(2n-1)t}{(2n-1)^2[1 + (2n-1)^2]}$$

21 证明：若 $f(t)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，且

$$f(t) = \begin{cases} t/\pi & (0 < t < \pi) \ (2\pi - t)/\pi & (\pi < t < 2\pi) \end{cases}$$

则

$$f(t) = \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos(2n+1)t}{(2n+1)^2}$$

同时证明，当 $\omega$ 不是整数时，

$$y = \frac{1}{2\omega^2}(1 - \cos \omega t) - \frac{4}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n+1)t - \cos \omega t}{(2n+1)^2[\omega^2 - (2n+1)^2]}$$

满足微分方程

$$\frac{d^2 y}{dt^2} + \omega^2 y = f(t)$$

且满足初始条件 $y = dy/dt = 0$ 在 $t = 0$ .