例 13.9 从一副普通的五十二张扑克牌中随机抽取一张牌。求所抽的牌为以下情况的概率：

• (a) 一张梅花且是 A，(b) 一张 A 或一张梅花，
• (c) 一张 A 且是一张 K，(d) 一张 A 或一张 K。

解 设事件“抽到的牌是 A”、“抽到的牌是 K”和“抽到的牌是梅花”分别记为 A、K 和 C。

• (a) “抽到的牌是 A”与“抽到的牌是梅花”这两个事件是相互独立的，因为每种花色的牌数相同。除非梅花 A 恰好缺失，否则这两个事件并非互斥。因此

$$P(A \cap C) = P(A)P(C) = (\frac{1}{13})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{52}$$

• (b) 由事件的一般加法法则（13.3.3 节）可得

$$\begin{aligned} P(A \cup C) &= P(A) + P(C) - P(A \cap C) \ &= \frac{1}{13} + \frac{1}{4} - \frac{1}{52} = \frac{4}{13} \end{aligned}$$

• (c) “抽到的牌是 A”与“抽到的牌是 K”这两个事件是互斥的，所以

$$P(A \cap K) = 0$$

• (d) 根据概率的第三条公理（13.3.3 节），

$$P(A \cup K) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$$

例 13.10 若同时掷两枚均匀的骰子，求至少出现一个六点的概率。

解 我们假设两次投掷在因果上是独立的，即一枚骰子的结果与另一枚骰子的结果没有任何关联。于是它们在统计上是独立的，并且根据补集法则和乘积法则，

$$\begin{aligned} P(\text{at least one six}) &= 1 - P(\text{no six}) \ &= 1 - P(\text{first die not six})P(\text{second die not six}) \ &= 1 - (\frac{5}{6})^2 = \frac{11}{36} \end{aligned}$$

例 13.11 若独立地选取 n 个人，n 需要多大才能使其中至少两人生日相同（不必在同一年，并排除 2 月 29 日）的机会大于一半？假设所有可能性都是等可能的。