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在这种情况下 A 实际上不提供关于 B 的任何信息。根据 13.3.4 节中条件概率的定义可得
$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$
联合概率是各自概率的乘积。这表明独立性在两个事件之间是对称的，因此我们也有
$$P(A \mid B) = P(A)$$
例 13.8 来自生产线的物品可能存在缺陷 A 或 B。有些物品两者都有，有些只有其中一个，但大多数都没有。表 和 给出了两组不同的联合概率：
| (a) | B | B– | 总计 | (b) | B | B– | 总计 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 0.02 | 0.08 | 0.10 | A | 0.06 | 0.04 | 0.10 |
| Ā | 0.18 | 0.72 | 0.90 | Ā | 0.14 | 0.76 | 0.90 |
| 总计 | 0.20 | 0.80 | 1.00 | 总计 | 0.20 | 0.80 | 1.00 |
在每种情况下检验独立性。
解 表中所示的行总计和列总计分别是两种缺陷各自出现的概率，例如
$$P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = P(A)$$
并且这些数字在两个表中是相同的。容易看出 在 情况下成立，而在 情况下不成立；例如，两种缺陷同时出现的概率为
$$P(A \cap B) = 0.02 = P(A)P(B) \quad \text{for (a)}$$
但是
$$P(A \cap B) = 0.06 > P(A)P(B) \quad \text{for (b)}$$
该组合出现的概率大于 (b) 中由各自概率的乘积所预期的值，这表明这两个缺陷以某种方式相关联。
一般而言，对于任意多个独立事件，概率相乘：
$$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1)P(A_2) \dots P(A_n)$$
这称为乘法法则，必须与加法法则区分开来，加法法则（以其基本形式，即公理 (3)）适用于互斥事件。除非至少其中一个事件的概率为零，否则独立事件不可能互斥。