求 (a) 样本平均值以及两种版本的样本标准差，(b) 样本中位数和极差。

43 求以下部件寿命样本（单位：千小时）的样本平均值、标准差、中位数和极差：

5.6, 4.1, 6.0, 5.8, 5.2, 4.3, 6.4, 5.5, 6.0, 5.1, 4.9, 4.2, 4.8, 6.8, 5.6, 5.2, 7.3, 5.4, 4.7, 5.9, 5.0, 6.3, 4.4, 6.0

44 求图 13.1 中发动机性能数据的样本平均值和标准差。

45 在一个与习题 35 类似的问题中，第一次尝试成功的概率为 0.2，但之后每次尝试（如有需要）失败的概率是前一次的一半。求达到首次成功所需的平均尝试次数。

46 求瑞利分布的中位数和众数

$$f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{a} \exp\left(-\frac{x^2}{2a}\right) & (x > 0) \ 0 & \text{(otherwise)} \end{cases}$$

（见练习 13.4.5 中的习题 31）。并证明均值由下式给出

$$\mu_X = \int_0^\infty \exp\left(-\frac{x^2}{2a}\right) dx$$

$$\mu_x = \int_0^\infty \exp\left(-\frac{x^2}{2a}\right) dx$$ 47 两个人分别尝试完成某项特定任务，且每人将持续尝试直到成功。A 每次尝试成功的概率为 p，B 为 q，所有尝试相互独立。B 用不超过 A 的尝试次数取得成功的概率是多少？

$$\left( \text{Hint: } \sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{1 - x^n}{1 - x} \right)$$

48 距样本平均值若干个标准差之外的样本值称为离群值。它们往往只是测量或转录错误，但会使统计计算产生偏差。

下列数据中哪些距离平均值超过三个样本标准差？

19.4, 18.1, 25.6, 18.2, 20.6, 25.0, 21.8, 15.5, 26.3, 15.8, 18.7, 19.3, 22.3, 20.9, 24.2, 21.4, 23.2, 21.4, 47.1, 23.6, 46.3, 21.2, 27.5, 20.8, 24.7, 25.9, 25.8, 33.4, 30.9, 24.5

13.5 重要的实用分布

确定一个随机变量的精确分布需要大量信息，而确定两个或多个变量的联合分布所需的信息更多。均值、方差和协方差是刻画随机变量最重要性质（即位置、离散度和相关性）的有用度量，这些性质可以切合实际地从数据中估计出来。这些度量在统计学中具有重要价值，正如配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》所示。另一条捷径是统计实践中常用的各类分布。使用者只需提供某些关键参数的值（或许可以利用均值和方差的估计值），然后概率分布就由公式确定。经验表明，这些分布类（以数学形式理想化）在许多实际情形中确实能很好地近似实际分布。

这些分布类中最重要的是二项分布、泊松分布和正态分布。本节将介绍这些分布，并特别着眼于后续的统计应用。