13.4.11 习题

32 假设从伦敦寄往纽约的包裹所需运输天数的概率分布如下：

求该分布的均值，以及某个包裹在五天内到达的概率。

33 某台计算机每日故障次数的分布由下表给出：

求该分布的均值、中位数和标准差。

34 对习题 13.2.6 中问题 1 给出的句子长度，求平均句长。

35 当每次尝试成功的概率为 0.2 时，达到首次成功所需的独立尝试次数 X 的分布由下式给出

$$P(X = k) = (0.2)(0.8)^{k-1} \quad (k = 1, 2, 3, \dots)$$

（见习题 13.4.5 中的问题 26）。求该分布的均值、中位数和标准差。

36 你到达一个火车站，只知道火车每隔一小时发一班前往你的目的地。求你等待时间的均值和标准差。

37 随机变量 X 具有如下线性分布

$$f_x(x) = \begin{cases} a - bx & (0 \leq x \leq \frac{a}{b}) \ 0 & \text{(otherwise)} \end{cases}$$ 其中 $a$ 和 $b$ 为常数。证明 (a) $a = \sqrt{2b}$      (b) 的中位数为 $X$ 是 $(\sqrt{2} - 1)$

其中 a 和 b 为常数。证明

38 假设车主从一条轮胎获得的行驶里程（以千公里计）是一个随机变量，其密度函数为

$$f_x(x) = \begin{cases} \frac{1}{30} e^{-x/30} & (x > 0) \ 0 & (x \leq 0) \end{cases}$$

求

• (a) 其中一条轮胎最多能行驶 19 000 公里的概率；
• (b) X 的均值和标准差；
• (c) X 的中位数和四分位距。

39 如果随机变量 X 的概率密度为

$$f_x(x) = \begin{cases} 30x^2(1-x)^2 & (0 < x < 1) \ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$

求 X 取值在其均值左右两个标准差范围内的概率。

40 计算机系统故障的停机时间 T 的分布由下式给出

$$f_T(t) = \begin{cases} a^2 t e^{-at} & (t > 0) \ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}$$

其中 a 为正常数。由故障造成的中断所导致的停机成本随 T 呈指数增长：

$$\text{cost factor} = h(T) = e^{bT}$$

证明停机时间的期望成本因子为 $[a/(a - b)]^2$ ，前提是 $a > b$ 。

41 完成任务 A 和任务 B 的平均时间分别为四小时和六小时。某特定项目包含三个 A 类任务和两个 B 类任务，全部依次执行。该项目完成的期望时间是多少？另外，如果 A 和 B 的标准差分别为一小时和两小时，且所有项目时间相互独立，那么完成时间的标准差是多少？

42 对来自反应堆容器内部的十二个材料样本进行检查，得到以下杂质百分比：

2.3, 1.9, 2.1, 2.8, 2.3, 3.6, 1.4, 1.8, 2.1, 3.2, 2.0, 1.9