例 13.25 某元件供应商声称其目录中的元件在任何时候都有 95% 有现货。一份包含二十种不同元件的订单被退回，其中有三项因缺货而缺失。鉴于供应商的说法，这种情况可能发生吗？

解答 每个元件在任何时候要么有货要么缺货，且每个元件缺货的概率为 5%。因此适用二项分布，且

$$P(k \text{ out of stock}) = \binom{20}{k} 0.05^k 0.95^{20-k}$$

所以

$$\begin{aligned} P(3 \text{ or more out of stock}) &= P(3) + P(4) + \dots + P(20) \ &= 1 - P(0) - P(1) - P(2) \ &= 1 - 0.3585 - 0.3774 - 0.1887 \ &= 0.0755 \end{aligned}$$

鉴于供应商的说法，这种情况不太可能发生。

关于这个简单例子有几点需要注意。假设的 5% 缺货概率来自供应商的说法，但实际上这是一个平均值，既是在不同元件之间的平均值（由于供应困难，某些元件可能比其他元件更常缺货），也是随时间的平均值（出于同样的原因）。独立性假设可能不成立——例如，当一批多种类似类型的元件正等待从制造商发货，而其中若干种恰好包含在该订单中时。

最重要的是，解答中算出的概率是三项或更多缺货的概率，即一个至少与观察到的结果同样极端的结果。任何结果都可能具有较低的概率。这里重要的是实际结果位于分布“尾部”多深的位置，这通过从该处到 k 的最大值（即 20）的总概率来评估。注意使用补集法则来简化计算。

13.5.2 泊松分布

当参数 n 较大时，二项分布变得难以处理，如例 13.26 和例 13.27 所示。另一个常作为二项分布有用近似的离散分布如下：

$$P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \quad (k = 0, 1, 2, \dots)$$

这就是泊松分布的一般形式，其参数为 $\lambda$ 。在《Advanced Modern Engineering Mathematics》中证明了泊松分布的均值和方差都等于 $\lambda$ 。这些可以直接从定义推导出来，但使用矩母函数更容易得到，该书也将讨论矩母函数。同样利用这一技巧，可以证明当 $n$ 较大而 $p$ 较小时，泊松分布近似于参数为 $\lambda = np$ 的二项分布。作为指导，若满足以下条件即可使用泊松近似： $n \geq 25$ 和 $p \leq 0.1$ 。这在图 13.28 中以数值方式说明，其中比较了二项分布和泊松分布的 $n = 25$ , $p = 0.1$ 和 $\lambda = 2.5$ .