例 13.26 若汽车在通过某隧道时发生故障的概率为 0.04%，求某一天进入隧道的 2000 辆汽车中至多有两辆发生故障的概率。

解 故障数的真实分布为二项分布：

$$P(k \text{ breakdowns}) = \binom{2000}{k} (0.0004)^k (0.9996)^{2000-k}$$

其中 $P(0) = 0.44926$ , $P(1) = 0.35955$ 且 $P(2) = 0.14381$ ，且

$$P(\text{at most two breakdowns}) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.95261$$

因为 $n$ 很大而 $p$ 很小，也可以使用泊松近似，取 $\lambda = np = 0.8$ ，于是

$$P(\text{at most two breakdowns}) \approx e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{1}{2}\lambda^2\right) = 0.95258$$

泊松计算更简便，且两者结果非常吻合。通常不宜将这样的答案保留五位有效数字，但只有达到这样的精度才能看出两种分布之间的差异。

尽管泊松分布比二项分布使用方便，但某些涉及长求和的计算仍然困难。以下递推公式无论对手工计算还是计算机程序都很有用。若 $X$ 服从参数为的泊松分布 $\lambda$ ，各相继的泊松概率由下式给出

$$P(X = k) = \frac{\lambda P(X = k - 1)}{k} \quad (k = 1, 2, \dots)$$

其中 $P(X = 0) = e^{-\lambda}$ 。此外，诸如这样的累积性质

$$P(X \leq 3) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!}\right)$$

可以改写为嵌套形式（见第 2.4 节）

$$P(X \leq 3) = e^{-\lambda} \left( \left( \left( \frac{\lambda}{3} + 1 \right) \frac{\lambda}{2} + 1 \right) \lambda + 1 \right)$$

这种方法可以推广如下：设

$$G_n = \frac{\lambda}{n} + 1 \quad \text{and} \quad G_{k-1} = \frac{\lambda}{k-1} G_k + 1 \quad (k = n, n-1, \dots, 2)$$

则

$$P(X \leq n) = e^{-\lambda} G_1$$

例 13.27 某台机器生产的零件以概率 0.015 带有缺陷 A，以概率 0.020 带有缺陷 B，两种缺陷相互独立。若将五十四个零件装入一批，那么该批中至少有五十个零件没有缺陷的（近似）概率是多少？