解答 根据补集法则和乘法法则，一个零件两种缺陷都没有的概率为

$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = [1 - P(A)][1 - P(B)] = 0.9653$$

因此一个零件至少有一个缺陷的概率为 0.0347。如果一批产品中至少含有 50 个合格零件，那么它至多含有四个不合格零件，并且根据二项分布，

$$P(\text{at most four defective})} = \sum_{k=0}^4 \binom{54}{k} (0.0347)^k (0.9653)^{5-k}$$

这个式子相当繁琐，所以我们使用泊松近似，取 $\lambda = (54)(0.0347) = 1.874$ 。递推公式中的各相继值为 1.469、1.917、2.797 和 6.241，因此 $G_4, \dots, G_1$ 换句话说，大约每二十四批中就有一批所含合格零件少于五十个。

二项分布和泊松分布是离散分布，它们在所有离散随机变量中应用最为广泛。泊松分布在统计质量控制中具有重要地位，因此对工程师来说尤为有用。这一点将在后面介绍（见 13.6 节），但现在我们转向最重要的连续分布。

$$P(\text{at most four defective}) \approx 6.241\text{e}^{-1.874} = 0.958$$

13.5.3 正态分布

有一类分布被冠以“正态”之名，这是因为随机连续数据服从该分布的规律性非常普遍。这并非巧合。中心极限定理（13.5.4 节）提供了一种解释：各独立的随机部分累加起来构成一个正态的整体，这种情况在统计推断中极具价值（在《Advanced Modern Engineering Mathematics》中讨论）。正态分布还可以作为二项分布的一种近似，与泊松近似互为补充。

正态分布有两个参数，可以证明（见练习 13.5.7 中的第 60 题）它们就是均值和标准差，因此使用相应的符号

和 $\mu_X$ 来表示。

一个连续随机变量 $\sigma_X$ 服从均值为的正态分布，且具有均值和标准差。因此使用相应的符号 $X$ 和 $\mu_x$ 和方差 $\sigma_x^2$ 如果

$$f_X(x) = \frac{1}{\sigma_X \sqrt{(2\pi)}} \exp \left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu_X}{\sigma_X} \right)^2 \right] \quad (-\infty < x < +\infty, \sigma_X > 0)$$

密度函数关于该点对称 $\mu_x$ 并呈现图 13.29 所示的钟形曲线。这种分布有时也以其更传统的名称来称呼：高斯分布。

需要声明一个随机变量服从正态分布（具有指定的均值和方差）的情况非常常见，因此为此目的存在一种专门的记号：

$$X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$$