图 13.29
正态密度函数与分布函数（对于 $\mu_X = 0$ 和 $\sigma_X = 1$ ）。

涉及正态分布的计算之所以复杂，是因为密度函数在任意区间上的积分没有简单的表达式；换句话说，分布函数 $F_X(x)$ 没有简单的显式形式。因此需要使用该函数的数值表。实际上，只需要一张表：即均值为零、方差为一的正态分布这一特殊情形的表。

标准正态累积分布函数为

$$\Phi(z) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)}} \int_{-\infty}^z e^{-x^2/2} dx$$

该函数通常只对 $z \geq 0$ 制表；对于 $z < 0$ ，由对称性可知

$$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$$

标准正态函数 $\Phi(z)$ 的一个典型数值表见图 13.30。

对于任意随机变量 $X$ ，无论是否服从正态分布，减去均值后得到的随机变量均值为零：

$$E{X - \mu_X} = 0$$

这种减法不会改变方差，但随后除以标准差就得到一个方差为一的变量：

$$\text{Var}\left(\frac{X - \mu_X}{\sigma_X}\right) = 1$$

（这由第 13.4.9 节中的结果可得）。这是正态分布的一个性质，为大多数其他分布所不具备：这种运算的结果仍然是正态的。通常用字母表示这个新的随机变量 $Z$ :

$$Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X}$$