均值，则收敛到正态分布的速度很快。图 13.32(a) 展示了均匀随机变量 $X$ 的密度函数

$$f_x(x) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}} \quad (-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3})$$

（其均值为零、方差为一）的分布，以及 Z2 和 Z4 的分布。图中还画出了正态分布。图 13.32(b) 展示了密度函数为

$$f_X(x) = e^{-(x+1)} \quad (x \geq -1)$$

（其均值为零、方差为一）的指数随机变量 X 的类似结果，以及 Z5 和 Z25。显然，对称分布的收敛速度更快。

(d) 该定理可以推广，使得随机变量 Xi 不必同分布，而这在实际情况中通常是不成立的。

(e) 即使实验数据不服从正态分布，中心极限定理也意味着对于大样本，样本均值服从正态分布。许多有价值的统计方法正是利用了这一事实。

图 13.32 中心极限定理：(a) 均匀分布；(b) 指数分布。

例 13.30 在某工厂的质量控制方案中，根据样本中统计出的次品数量来决定接受或拒收成批的元件。被拒收的批次会被检查，所有次品都会被换成合格品。根据机器可靠性统计，已计算出被拒收批次中出现三、四、五、六和七件次品的概率分别为 0.3、0.4、0.2、0.08 和 0.02。五十个被拒收的批次共产生了 221 件次品。这是否表明机器生产的次品数量超过了应有的水平？

解 若 $X$ 表示被拒收批次中的次品数量，则均值和标准差由下式给出

$$\mu_X = 3(0.3) + 4(0.4) + 5(0.2) + 6(0.08) + 7(0.02) = 4.12$$

$$\sigma_X = \sqrt{[9(0.3) + 16(0.4) + 25(0.2) $$\mu_x = 3(0.3) + 4(0.4) + 5(0.2) + 6(0.08) + 7(0.02) = 4.12$$

$$\sigma_x = \sqrt{[9(0.3) + 16(0.4) + 25(0.2) + 36(0.08) + 49(0.02) - (4.12)^2]} = 0.9928$$$$