根据中心极限定理，五十个被拒批次中的次品总数 Y 将近似服从正态分布，且

$$P(Y \geq 221) = P\left(\frac{Y - 50\mu_X}{\sigma_X\sqrt{50}} \geq \frac{221 - 50\mu_X}{\sigma_X\sqrt{50}}\right) = 1 - \Phi(2.137) = 0.0163$$

这个概率相当小，因此机器的性能必然受到怀疑。事实上，通过进行连续性修正（如第 13.5.5 节所述），可以得到此问题更精确的答案，但结论是相同的。

例 13.30 是中心极限定理许多应用中的典型例子。底层的分布肯定不是正态的，但假设总和近似服从正态分布是合理的。

例 13.31 在第 1.5.4 节中曾指出，将 100 个各自四舍五入到三位小数的数相加时，可能出现的最大误差是 0.05。求总和的误差绝对值超过 0.005 的概率，以及误差的期望绝对值。

解 我们假设一个四舍五入到三位小数的数的误差可以是介于 $-0.0005$ 和 $+0.0005$ 之间的任何值，且该范围内所有值等可能。换言之，每个数的误差是一个均匀随机变量 $X$ ，设为，其中

$$f_x(x) = \begin{cases} 1000 & (-0.0005 < x < +0.0005) \ 0 & \text{(otherwise)} \end{cases}$$

由此可得均值和方差为

$$\mu_x = \int_{-0.0005}^{+0.0005} 1000x , dx = 0$$

$$E(X^2) = \int_{-0.0005}^{+0.0005} 1000x^2 , dx = 8.333 \times 10^{-8}$$

$$\sigma_x^2 = E(X^2) - \mu_x^2 = 8.333 \times 10^{-8}$$

总和的误差是一个随机变量 $Y = X_1 + \dots + X_{100}$ 。根据中心极限定理，近似地

$$Y \sim N(100\mu_X, 100\sigma_X^2) = N(0, 8.333 \times 10^{-6})$$

因此

$$\begin{aligned} P(Y > 0.005) &\approx P\left(Z > \frac{0.005}{0.00289}\right) \ &= P(Z > 1.732) = 1 - \Phi(1.732) \end{aligned}$$