等比数列

• 等比数列是形如

$$a, ar, ar^2, ar^3, \dots$$

其中 $a$ 称为首项， $r$ 称为公比。

• 该数列的 $n$ 项由下式给出： $ar^{n-1}$ .
• 等比数列各项之和称为等比级数，前 $n$ 项之和为

$$S_n = a(1 - r^n)/(1 - r) \text{ if } r \neq 1 \text{ and } S_n = an \text{ if } r = 1$$

二项式级数

• 该函数的二项式展开 $(1 + x)^r$ ，其中 $r$ 为任意实数，由下式给出

$$(1 + x)^r = 1 + rx + \frac{1}{2!}r(r - 1)x^2 + \frac{1}{3!}r(r - 1)(r - 2)x^3 + \dots$$

• 该级数的第 $(n + 1)$ 项为 $\frac{1}{n!}r(r - 1)(r - 2) \dots (r - n + 1)x^r$ .
• 若 $r$ 为正整数，则级数在 $r + 1$ 项后终止。
• 若 $r$ 不是正整数，则展开式仅在以下条件成立时有效 $|x| < 1$ .
• 展开 $(a + x)^r$ 则先将其表示为以下形式 $a^r \left(1 + \frac{x}{a}\right)^r$ 然后按上述方法展开。

泰勒级数与麦克劳林级数

关于 $f(x)$ 的泰勒级数展开为 $x = a$ 该展开式仅在无穷级数的收敛域内有效。在

$$f(x + a) = f(a) + \frac{x}{1!}f'(a) + \frac{x^2}{2!}f''(a) + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(a)$$

的特殊情况下，我们得到 $a = 0$ 的麦克劳林级数展开。 $f(x)$

$$f(x) = f(0) + \frac{x}{1!}f'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} f^{(n)}(0)$$

一些标准的麦克劳林级数展开

$$e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + \dots \quad (\text{all } x)$$

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots \quad (\text{all } x)$$

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + \dots \quad (\text{all } x)$$

$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} + \dots \quad (-1 < x \leq 1)$$