规则

• (1) $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ '乘积的对数等于对数的和'
• (2) $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y$    '商的对数等于对数的差'
• $$(3) \quad \log_a x^n = n \log_a x$$

常用结论

• $$(1) \quad x = a^{\log_a x}$$
• (2) $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$      '换底公式'

当……的对数 $x$ 以……为底 $e$ 时，记作 $\ln x$ 并称为自然对数。

双曲函数

定义

$$\cosh x = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})$$

() $$\sinh x = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$$

$$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$$

$$\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x}$$

$$\text{cosech } x = \frac{1}{\sinh x}$$

$$x$$ , $(x \neq 0)$      $\coth x = \frac{1}{\tanh x}, (x \neq 0)$

反函数的对数形式

$$\begin{aligned} \text{cosech } x &= \frac{1}{\sinh x}, (x \neq 0) \ \text{withinc form of inverses} \ \sinh^{-1} x &= \ln[x + \sqrt{x^2 + 1}] \ \cosh^{-1} x &= \ln[x + \sqrt{x^2 - 1}] \end{aligned}$$

$$\cosh^{-1}x = \ln[x + \sqrt{(x^2 - 1)}], \quad (x \geq 1)$$

反函数的对数形式

$$\sinh^{-1} x = \ln[x + \sqrt{(x^2 + 1)}]$$ $\cosh^{-1} x = \ln[x + \sqrt{(x^2 - 1)}], \quad (x \geq 1)$ $\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right), \quad (-1 < x < 1$

等差数列

• 等差数列是具有如下形式的数列

$$a, a + d, a + 2d, a + 3d, \dots$$

其中 $a$ 称为公差， $d$ 称为公差。

• 该数列的第 n 项由下式给出 $a + (n - 1)d$ .
• 等差数列各项之和称为等差级数，前 n 项之和为

$$S_n = n[2a + (n - 1)d]/2$$