例 1.3 求下列式子的值 $(100 + 20 + 3) \times 456$ 。

解 利用分配律，我们有

$$\begin{aligned} (100 + 20 + 3) \times 456 &= 100 \times 456 + 20 \times 456 + 3 \times 456 \ &= 45\ 600 + 9120 + 1368 = 56\ 088. \end{aligned}$$

这里 $100 \times 456$ 已被计算为

$$100 \times 400 + 100 \times 50 + 100 \times 6$$

类似地 $20 \times 456$ 以及 $3 \times 456$ 。

当然，这通常按传统的小学算术方式列出：

456 123 × 1 368 9 120 45 600 56 088

例 1.4 将 $(a + b) \times (c + d)$ 改写为乘积之和。

解 利用分配律，我们有

$$\begin{aligned} (a + b) \times (c + d) &= a \times (c + d) + b \times (c + d) \ &= (c + d) \times a + (c + d) \times b \ &= c \times a + d \times a + c \times b + d \times b \ &= a \times c + a \times d + b \times c + b \times d \end{aligned}$$

其中多次应用了交换律。

实数的另一种运算是乘方。例如， $a \times a$ 写作 $a^2$ , 且 $a \times a \times a$ 写作 $a^3$ 。一般地， $n$ $a$ 个 $n$ 的乘积，其中 $a^n$ 为正整数，写作 $n$ 。（这里的

$$a^n \times a^m = a^{n+m} \quad (1.1a)$$

$$a^n \div a^m = a^{n-m} \quad (1.1b)$$

$$(a^n)^m = a^{nm} \quad (1.1c)$$

称为指数。）幂运算也遵循简单的规则： $n = m$ 由规则 (1.1b)，通过取 $a \neq 0$ 和

（注：以下为翻译结果）

[", 且", "写作", "。一般地，", "个", "的乘积，其中", "为正整数，写作", "。（这里的", "称为指数。）幂运算也遵循简单的规则：", "由规则 (1.1b)，通过取", "和", "，可得"]

等等，我需要重新整理，直接给出最终答案：

[", 且", "写作", "。一般地，", "个", "的乘积，其中", "为正整数，写作", "。（这里的", "称为指数。）幂运算也遵循简单的规则：", "由规则 (1.1b)，通过取", "和", "，可得"] $a^0 = 1$ . 按惯例也取 $0^0 = 1$ . 乘方过程可以扩展到包括分数次幂，例如 $a^{1/2}$ . 利用规则 (1.1c)，