$$(a^{1/n})^n = a^{n/n} = a^1$$

并且我们看到

$$a^{1/n} = {}^n\sqrt{a}$$

的 $n$ 次根 $a$ 。此外，我们可以定义 $a^{-m}$ 使用规则 (1.1b)，其中 $n = 0$ ，得到

$$1 \div a^m = a^{-m}, \quad a \neq 0$$

因此 $a^{-m}$ 是 $a^m$ 的倒数。与二元运算 $+$ , $\times$ , $-$ 和 $\div$ , 它作用于两个数字，而幂运算 $(\cdot)^r$ 只作用于一个元素，因此被称为一元运算。注意分数指数

$$a^{m/n} = ({}^n\sqrt{a})^m = {}^n\sqrt{(a^m)}$$

是 $n$ 次方根。如果 $a^m$ 是偶数，那么当 $n$ 为负数时 $a^{m/n}$ 没有定义。当 $a$ 是无理数时，这样的根被称为不尽根（surd）。

像 ${}^n\sqrt{a}$ 这样的数被希腊人称为 a-logos，即没有比数的数。一位阿拉伯语译者取了另一种含义“没有词语”，并使用了阿拉伯语中“聋”一词，随后在十二世纪中叶从阿拉伯语翻译成拉丁语时，它变成了 surdus，即拉丁语中的“聋”。 $\sqrt{2}$

例 1.5

求……的值

解

(a) $27^{1/3} = {}^3\sqrt{27} = 3$

(b) $(-8)^{2/3} = ({}^3\sqrt{-8})^2 = (-2)^2 = 4$

(c) $16^{-3/2} = (16^{1/2})^{-3} = (4)^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$

(d) $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

(e) $(-1/8)^{-2/3} = [{}^3\sqrt{-1/8}]^{-2} = [{}^3\sqrt{-1}/{}^3\sqrt{8}]^{-2} = [-1/2]^{-2} = 4$

(f) $(9)^{-1/2} = (3)^{-1} = \frac{1}{3}$

例 1.6

用……表示 (a)，并将 (b) 至 (f) 化简。 $\sqrt{2}$