解答 (a) $\sqrt[4]{18} = \sqrt[4]{(2 \times 9)} = \sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{9} = 3\sqrt[4]{2}$
$\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{(2 \times 16)} = \sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{16} = 4\sqrt[4]{2}$
$\sqrt[4]{50} = \sqrt[4]{(2 \times 25)} = \sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{25} = 5\sqrt[4]{2}$

因此 $\sqrt[4]{18} + \sqrt[4]{32} - \sqrt[4]{50} = 2\sqrt[4]{2}$ .

(b) $6\sqrt[4]{2} = 3 \times 2\sqrt[4]{2}$

由于 $2 = \sqrt[4]{2} \times \sqrt[4]{2}$ ，我们有 $6\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$ .

(c) $(1 - \sqrt[3]{3})(1 + \sqrt[3]{3}) = 1 + \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} - 3 = -2$

(d) 利用 (c) 部分的结果， $\frac{2}{1 - \sqrt[3]{3}}$ 可以通过将“分子和分母”同时乘以 $1 + \sqrt[3]{3}$ 来化简（注意 $\sqrt[3]{3}$ 前面的符号变化）。因此

$$\begin{aligned} \frac{2}{1 - \sqrt[3]{3}} &= \frac{2(1 + \sqrt[3]{3})}{(1 - \sqrt[3]{3})(1 + \sqrt[3]{3})} \ &= \frac{2(1 + \sqrt[3]{3})}{1 - 3} \ &= -1 - \sqrt[3]{3} \end{aligned}$$

(e) $(1 + \sqrt[6]{6})(1 - \sqrt[6]{6}) = 1 - \sqrt[6]{6} + \sqrt[6]{6} - 6 = -5$

(f) 使用与 (d) 部分相同的方法，我们有

$$\begin{aligned} \frac{1 - \sqrt[6]{6}}{1 + \sqrt[6]{6}} &= \frac{(1 - \sqrt[6]{6})(1 - \sqrt[6]{6})}{(1 + \sqrt[6]{6})(1 - \sqrt[6]{6})} \ &= \frac{1 - \sqrt[6]{6} - \sqrt[6]{6} + \sqrt[6]{12}}{1 - 6} \ &= -(1 - \sqrt[6]{6} - \sqrt[6]{6} + 2\sqrt[6]{3})/5 \end{aligned}$$

这种将无理数改写为所有根式都位于分子的过程称为有理化。

在计算算术表达式时，需遵循以下优先级规则：

• • 幂运算 $(\cdot)^r$ 先执行
• • 然后是乘法 $\times$ 和/或除法 $\div$
• • 然后是加法 $+$ 和/或减法 $-$

当表达式中两个优先级相同的运算符相邻时，先执行左边的运算。例如，

$$12 - 4 + 13 = 8 + 13 = 21$$

$$15 \div 3 \times 2 = 5 \times 2 = 10$$