括号可以覆盖优先级规则；因此

$$12 - (4 + 13) = 12 - 17 = -5$$

和

$$15 \div (3 \times 2) = 15 \div 6 = 2.5$$

这种优先级顺序通常被称为 BODMAS/BIDMAS（含义：括号、乘方/指数、乘法、加法、减法）。

例 1.7 计算 $7 - 5 \times 3 \div 2^2$ 。

解 根据优先级规则，我们有

$$7 - 5 \times 3 \div 2^2 = 7 - 5 \times 3 \div 4 = 7 - 15 \div 4 = 7 - 3.75 = 3.25$$

1.2.4 习题

• 1	求 110110.101 的十进制等值数 2 .
  2	求十进制数 16321 的二进制和八进制（以八为基）等值数。得出一个将这两种表示联系起来的简单规则，并据此写出 101100101101 的八进制等值数 2 .
  3	求十进制数 30.6 的二进制和八进制等值数。第 2 题中得出的规则是否仍然适用？
  4	用二进制算术计算

• (b) $111.100111_2 \times 10.111_2$

  5 化简下列各式，答案用正指数表示且不含括号：

• 4 (b) $2^3 \div 2^{-4}$

• 4 (c) $(2^3)^{-4}$

• 6 d) $3^{1/3} \times 3^{5/3}$ (e) $(36)^{-1/2}$ (f) $16^{3/4}$

  表达式 $7 - 2 \times 3^2 + 8$ 可以使用通常的隐式优先级规则进行求值。它可以改写为 $(7 - (2 \times (3^2))) + 8$ )，用括号使优先级明确。类似地，将下列表达式改写为完全加括号的形式：

• 1.2.4 练习

  求 110110.101₂的十进制等价值。

  求十进制数 16321 的二进制和八进制（以八为基）等价值。找出一个简单规则，将这两种表示联系起来，从而写出 1011100110110₂的八进制等价值。

  求十进制数 30.6 的二进制和八进制等价值。第 2 题中得到的规则是否仍然适用？

  使用二进制算术计算

  (a) $100011.011_2 + 1011.001_2$

  (b) $111.10011_2 \times 10.111_2$

  化简下列表达式，答案须用正指数且不带括号：

  (a) $2^3 \times 2^{-4}$      (b) $2^3 \div 2^{-4}$      (c) $(2^3)^{-4}$

  (d) $3^{1/3} \times 3^{5/3}$      (e) $(36)^{-1/2}$      (f) $16^{3/4}$

  表达式 $7 - 2 \times 3^2 + 8$ 可以使用通常的隐式优先级规则进行求值。它可以改写为 $((7 - (2 \times (3^2))) + 8)$ ，用括号使优先级明确。类似地，将下列表达式改写为完全加括号的形式：

  (a) $21 + 4 \times 3 \div 2$

  (b) $17 - 6^{2+3}$

  (c) $4 \times 2^3 - 7 \div 6 \times 2$

  (d) $2 \times 3 - 6 \div 4 + 3^{2-5}$

  7 将下列各式表示为 $x + y\sqrt{2}$ 其中 $x$ 和 $y$ 为有理数：

  (a) $(7 + 5\sqrt{2})^3$      (b) $(2 + \sqrt{2})^4$

  (c) $^3\sqrt{(7 + 5\sqrt{2})}$      (d) $\sqrt{(\frac{11}{2} - 3\sqrt{2})}$

  8 证明

  $$\frac{1}{a + b\sqrt{c}} = \frac{a - b\sqrt{c}}{a^2 - b^2c}$$ 由此将下列各数表示为 $x + y\sqrt{n}$ 其中 $x$ 和 $y$ 为有理数，且 $n$ 为整数：

  (a) $\frac{1}{7 + 5\sqrt{2}}$      (b) $\frac{2 + 3\sqrt{2}}{9 - 7\sqrt{2}}$

  (c) $\frac{4 - 2\sqrt{3}}{7 - 3\sqrt{3}}$      (d) $\frac{2 + 4\sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

  9 求 2 与下列数的平方之间的差

  $$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}$$ (a) 验证该数列的相邻两项之间满足如下关系： $m/n$ 与 $(m + 2n)/(m + n)$ 的关系。

  (b) 验证如果 $m/n$ 是 $\sqrt{2}$ 的一个较好的近似值，那么 $(m + 2n)/(m + n)$ 是一个更好的近似值，并且两种情况下的误差方向相反。

  (c) 求上述数列接下来的三项。

• (b) $\frac{2 + 3\sqrt{2}}{9 - 7\sqrt{2}}$

• (c) $\frac{4 - 2\sqrt{3}}{7 - 3\sqrt{3}}$ (d) $\frac{2 + 4\sqrt{5}}{4 - \sqrt{5}}$

  9 求 2 与下列数的平方之间的差

  $$\frac{1}{1'} \frac{3}{2'} \frac{7}{5'} \frac{17}{12'} \frac{41}{29'} \frac{99}{70}$$