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1.2.5 不等式
数轴（图 1.1）明确展示了实数的另一个性质——有序性。这使我们能够做出诸如“七大于二”和“五小于六”这样的陈述。我们使用以下比较符号来表示
-
，“大于”
- <，“小于”
它还直观地给出了另外两个比较符：
=，“等于”
≠，“不等于”
这些比较符与算术运算结合使用时遵循简单的规则。对于任意四个数 $a, b, c$ 并且 $d$ :
| $(a < b \text{ and } c < d)$ | 蕴含 | $a + c < b + d$ | (1.2a) |
|---|---|---|---|
| $(a < b \text{ and } c > d)$ | 蕴含 | $a - c < b - d$ | (1.2b) |
| $(a < b \text{ and } b < c)$ | 蕴含 | $a < c$ | (1.2c) |
| $a < b$ | 蕴含 | $a + c < b + c$ | (1.2d) |
| $(a < b \text{ and } c > 0)$ | 蕴含 | $ac < bc$ | (1.2e) |
| $(a < b \text{ and } c < 0)$ | 蕴含 | $ac > bc$ | (1.2f) |
| $(a < b \text{ and } ab > 0)$ | 意味着 | $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ | (1.2g) |
解 两边平方可得
$$v$$ ，无需使用计算器，即可得出 $\sqrt[v]{2} + \sqrt[v]{3}$ 平方可得 $$(\sqrt[v]{2} + \sqrt[v]{3})^2 = 2 + 2\sqrt[v]{2}\sqrt[v]{3} + 3 = 5 + 2\sqrt[v]{6}$$
$$(2\sqrt$$
同样
$$(2\sqrt{6})^2 = 24 < 25 = 5^2$$
同样
$(2\sqrt{6})^2 = 24 < 25 = 5^2$
由此推出 $5 > 2\sqrt{6}$ 。因此
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > 2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}$
$$(2\sqrt{6})^2 = 24 < 25 = 5^2$$ 推出 $5 > 2\sqrt{6}$ 。因此 $$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$$ 因为 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是一个正数
$(2\sqrt{6})^2 = 24 < 25 = 5^2$
这意味着 $5 > 2\sqrt{6}$ 。因此
$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 > 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$
并且，由于 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 是一个正数，由此可得
$\sqrt{2} +
$$\sqrt 2 + \sqrt 3 > \sqrt (4\sqrt 6) = 2(\sqrt 6)$$$