图 1.2
插图
$|x - 4.3| = 5.8$ .

1.2.6 模与区间

一个实数的大小 $x$ 称为它的模（或绝对值），记作 $|x|$ （有时也记作 $\text{mod}(x)$ ）。因此

$$|x| = \begin{cases} x & (x \geq 0) \ -x & (x < 0) \end{cases} \quad (1.3)$$

其中比较符 $\geq$ 表示“大于等于”。（类似地， $\leq$ 表示“小于等于”。）

从几何上看， $|x|$ 是数轴上表示 $x$ 的点与表示零的点之间的距离。类似地 $|x - a|$ 表示该点的距离 $x$ 在数轴上从表示该点的点到 $a$ 。

两个不同数之间的数的集合， $a$ 和 $b$ 比如说，定义了实数轴上的一个开区间。这是集合 ${x: a < x < b, x \text{ in } \mathbb{R}}$ 通常记作 $(a, b)$ 。（集合记号将在后面完整介绍（见第 6 章）；这里 ${x: P}$ 表示所有具有性质 $x$ 的 $P$ 的集合。）这里的不等式意味着 $x$ 大于 $a$ 且小于 $b$ ；也就是说，不等式 $a < x$ 和 $x < b$ 同时成立。包含端点的区间称为闭区间，记作 $[a, b]$ ，其中

$$[a, b] = {x: a \leq x \leq b, x \text{ in } \mathbb{R}}$$

注意，两个数 $a$ 和 $b$ 之间的距离可能是 $a - b$ 或 $b - a$ 取决于哪一个更大。由此直接得到的一个结论是

$$|a - b| = |b - a|$$

由于 $a$ 到 $b$ 的距离与 $b$ 到 $a$ 的距离相同。

例 1.9 求使下列等式成立的 $x$ 的值

$$|x - 4.3| = 5.8$$

解

解 $|x - 4.3| = 5.8$ 意味着实数 $x$ 与 $4.3$ 是 $5.8$ 个单位，但没有告诉我们是 $x > 4.3$ 还是 $x < 4.3$ 。这种情况如图 1.2 所示，从图中可以清楚地看出， $x$ 的两个可能取值是 $-1.5$ 和 $10.1$ 。

例 1.10 将集合 (a) ${x : x - 3 \mid < 5, x \text{ in } \mathbb{R}}$ 和 (b) ${x : x + 2 \mid \leq 3, x \text{ in } \mathbb{R}}$ 表示为区间。

解

解 (a) $|x - 3| < 5$ 表示点所代表的距离 $x$ 在数轴上从表示 3 的点到该点的距离小于 5 个单位，如图 1.3(a) 所示。这意味着

$$-5 < x - 3 < 5$$