利用法则 (1.2d)，在此不等式两边各加 3，得

$$-2 < x < 8$$

且满足此不等式的数集是开区间 $(-2, 8)$ 。

(b) 类似地 $|x + 2| \leq 3$ ，可改写为 $|x - (-2)| \leq 3$ ，表示数轴上的点 $x$ 到表示 $-2$ 的点的距离小于或等于 3 个单位，如图 1.3(b) 所示。这意味着

$$-3 \leq x + 2 \leq 3$$

利用法则 (1.2d)，在此不等式两边各减 2，得

$$-5 \leq x \leq 1$$

且满足此不等式的数集是闭区间 $[-5, 1]$ 。

用代入特殊值的方法来检验这些答案是容易（也是明智）的。例如，取 $x = -4$ (b) 中给出 $|-4 + 2| < 3$ 正确。有时集合 $|x + 2| \leq 3$ 和 $|x + 2| < 3$ 用文字描述为“位于区间内” $x$ 等于 $-2 \pm 3$ '.

图 1.3
(a) 开区间
(-2, 8)。(b) 闭
区间 [-5, 1]。

我们顺带指出以下结果。对于任意两个实数 $x$ 和 $y$ :

$$|xy| = |x| |y| \quad (1.4a)$$

$$|x| < a \text{ for } a > 0, \quad \text{implies \quad -a < x < a \quad (1.4b)$$

$$|x + y| \leq |x| + |y|$$ ，即所谓的“三角不等式” (1.4c)

$$|xy| = |x| |y|$$ (1.4a)
$|x| < a$ 对于 $a > 0$ ，意味着 $-a < x < a$ (1.4b)
$|x + y| \leq |x| + |y|$ , 称为“三角不等式” (1.4c)
$\frac{1}$

结果 (1.4d) 在下面的例 1.11 中证明，可以用文字表述为

$\frac{1}{2}(x + y) = \sqrt{(xy)}$ ，当 $x = 0$ 和 $y = 0$ 结果 (1.4d) 在下面的例 1.11 中证明，可以用文字表述为 两个正数的算术平均值 $\frac{1}{2}(x + y)$ （两个正数） $x$ 和 $y$ 大于或等于几何平均值 $\sqrt{(xy)}$ 。EquResults (1.4a) 至 (1.4c) 应由读者自行验证，读者可能会发现先尝试一些具体值会有所帮助，例如设 $x = -2$ 和 $y = 3$ 在 (1.4c) 中。