例 1.11 证明对任意两个正数 $x$ 和 $y$ ，算术–几何不等式

we that for any two $$\frac{1}{2}(x + y) \geq \sqrt{(xy)}$$ .

成立。

由此推出 $x + \frac{1}{x} \geq 2$ 对任意正数 $x$ 成立。

我们需要证明 $\frac{1}{2}(x + y) - \sqrt{(xy)}$ 大于或等于零。设 $E$ 表示表达式 $(x + y) - 2\sqrt{(xy)}$ 。则

$$E \times [(x + y) + 2\sqrt{(xy)}] = (x + y)^2 - 4(xy)$$

（见例 1.13）

$$\begin{aligned} E &= x^2 + 2xy + y^2 - 4xy \ &= x^2 - 2xy + y^2 \ &= (x-y)^2 \end{aligned}$$

除非……否则大于零 $x = y$ 。由于 $(x + y) + 2\sqrt{(xy)}$ 为正，这意味着

$$= (x-y)^2$$ 除非……否则大于零 $x = y$ 。由于 $(x + y) + 2y = x + 2y$ ，我们有 $x + 2y \geq x$ ，它等于 $x + 2y \geq x$ 。由于 $(x + y) + 2y = x + 2y$ ，我们有

$$(xy). \text{ Setting } y = \frac{1}{x}, \text{ we obtain }$$

因为 $$(x + y) = y$$ , 因为 $(x + y) = y$ ，我们得到

或

• 10 证明 $(\sqrt{5} + \sqrt{13})^2 > 34$ ，并且不用计算器确定其中较大的是 $\sqrt{5} + \sqrt{13}$ 和 $\sqrt{3} + \sqrt{19}$ 。 11 在数轴上表示下列集合，并用区间表示它们：

1.2.7 习题