1.3 代数

顾名思义，代数起源于阿拉伯数学，其名称来自 aljabara 一词，意为“组合”或“重新结合”。算法是通过标准的逐步方法解决数学问题的规则。这类方法最早由九世纪来自花剌子模（今乌兹别克斯坦南部边境的希瓦）的数学家阿布·贾法尔·穆罕默德·本·穆萨所描述。阿拉伯语的 al-Khwarizm（“来自花剌子模”）在中世纪晚期被拉丁化为 algorithm。字母 x 常被用来表示未赋值（或自由）变量。人们认为这是手写字母 r 的讹变，r 是拉丁词 res（事物）的缩写。使用未赋值变量使我们能够为实际情况建立数学模型，如下例所示。我们先处理一个具体情形，然后再用未赋值变量处理一般情形。

在十七世纪首次引入的用字母表示未指定量的思想，促成了基于算术基本定律的代数运算的发展。这一发展极大地增强了数学解决问题的能力——以至于现在很难想象没有这种工具如何做数学。

例 1.12 一根管子呈空心圆柱形，如图 1.4 所示。求当 $R = 1$ mm 且 $d = 0.5$ mm 时它的质量。

• (a) 其长度为 1.5 m，外径为 205 mm，内径为 160 mm，密度为 5500 kg m⁻³;

• (b) 其长度为 $l$ m，外径为 $D$ mm，内径为 $d$ mm，密度为 $\rho$ kg m⁻³。注意这里未赋值变量 $l$ , $D$ , $d$ , $\rho$ 是纯数字，不包含计量单位。

• 13 已知 $a < b$ 和 $c < d$ ，以下哪些陈述总是正确的？

• (c) $ac < bd$ (d) $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$

  在每种情况下，要么证明该陈述为真，要么给出一个数值例子说明它可能为假。

  如果另外， $a, b, c$ 和 $d$ 都大于零，这会如何改变你的答案？

  14 一次旅程的平均速度是行驶的距离除以所花的时间。

• (a) 一次旅程的前一半时间以速度 $v_1$ 行驶，后一半以速度 $v_2$ 行驶。求平均速度 $v_a$ 对于该行程，用 $v_1$ 和 $v_2$ .

• (b) 一次行程以速度 $v_1$ 行驶一半的距离，再以速度 $v_2$ 行驶另一半。求该行程的平均速度 $v_b$ （用 $v_1$ 和 $v_2$ 表示）。

  推导：若一次行程以两个不同速度行驶相等的距离完成，则所需时间比以相同两个速度行驶相等时间完成的同一行程更长。