解答 (a) 将长度单位标准化后，管的内径和外径分别为 0.16 m 和 0.205 m。管的横截面积为

$$0.25 \pi (0.205^2 - 0.160^2) \text{ m}^2$$

（提示：直径为 D 的圆的面积为 D² /4。）

因此，管材的体积为

$$0.25 \pi (0.205^2 - 0.160^2) \times 1.5 \text{ m}^3$$

而管的质量（体积 $\times$ 密度）为

$$0.25 \times 5500 \times \pi(0.205^2 - 0.160^2) \times 1.5 \text{ kg}$$

用计算器计算最后一个表达式，得出管的质量约为 106 kg（精确到千克）。

(b) 管的内径和外径分别为 d/1000 和 D/1000 米，因此横截面积为

0.25 (D² − d² )/1 000 000 m2

管的体积为

$$0.25 \pi l (D^2 - d^2)/10^6 \text{ m}^3$$

因此，密度为 $M$ 的管的质量 $\rho$ kg 由以下公式给出

$$M = 0.25 \pi \rho l (D^2 - d^2)/10^6 = 2.5 \pi \rho l (D + d)(D - d) \times 10^{-5}$$

1.3.1 代数运算

代数运算使得一些著名结果得以简洁表述，例如

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad (1.5)$$

此前，这些结果是通过语言推理与初等几何相结合的方法得到的，如图 1.5 所示。

图 1.5
示意图
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab$
$+ b^2$ .

图 1.4 例 1.12 中的圆柱形管道。