例 1.13 证明

证明

$$ab = \frac{1}{4} [(a + b)^2 - (a - b)^2]$$

已知 $70^2 = 4900$ 和 $36^2 = 1296$ ，计算 $53 \times 17$ 。

解 因为

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

我们推出

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

和

$$(a + b)^2 - - (a - b)^+ = 4ab$$

以及

$$ab = \frac{1}{4} [(a + b)^2 - (a - b)^2]$$

结果在图 1.6 中以几何方式展示。设 $a = 53$ 和 $b = 17$ , 我们有

$$53 \times 17 = \frac{1}{4} [70^2 - 36^2] = 901$$

这种计算乘积的方法曾被巴比伦人使用，有时被称为“平方差”乘法。它曾被用于一些模拟设备和仿真器中。

图 1.6

例 1.14 证明

证明

$$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2cac$$

解 改写

解 改写 $a + b + c$ 为 $(a + b) + c$ 我们有

$$\begin{aligned} ((a + b) + c)^2 &= (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 && \text{using (1.5a)} \ &= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \ &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \end{aligned}$$