例 1.15 验证

$$(x + p)^2 + q - p^2 = x^2 + 2px + q$$

并由此推出

$$ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$$

解 $$(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$$

因此

$$(x + p)^2 + q - p^2 = x^2 + 2px + q$$

反向推导更为困难

$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$$

比较 $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}$ 与 $x^2 + 2px + q$ ，我们可以确定

$$\frac{b}{a} = 2p \quad \text{and} \quad \frac{c}{a} = q$$

于是我们可以写成

$$ax^2 + bx + c = a[(x + p)^2 + q - p^2]$$

其中 $p = \frac{b}{2a}$ 和 $q = \frac{c}{a}$

给出

$$\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + a\left(\frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}\right) \ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}$$

这个代数过程称为“配方法”。

我们可以总结一下目前为止的结果

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \tag{1.5a}$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \tag{1.5b}$$

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \tag{1.5c}$$

$$a^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \tag{1.5d}$$

如前面的例子所示，普通算术规则可以推广到代数这一广义算术中。下面的例子再次说明了这一点。