例 1.16 将其表示为一个分数

$$(a) \quad \frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4}$$

$$(b) \quad \frac{1}{(x+1)(x+2)} - \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2}}{x+2}$$

解 (a) 这些分数的最小公分母是 12，所以我们可以写成

$$= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

$$\frac{1}{12} - \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{1-8+9}{12}$$

(b) 这些分数分母的最小公倍数是 $(x + 1)(x + 2)$ ，所以我们可以写成

$$\begin{aligned} & \frac{1}{(x+1)(x+2)} - \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2} \ &= \frac{1}{(x+1)(x+2)} - \frac{2(x+2)}{(x+1)(x+2)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x+2)} \ &= \frac{1 - 2(x+2) + 3(x+1)}{(x+1)(x+2)} \ &= \frac{1 - 2x - 4 + 3x + 3}{(x+1)(x+2)} \ &= \frac{x}{(x+1)(x+2)} \end{aligned}$$

例 1.17 用配方法将下列二次表达式化为一个数 $+$ （或 $-$ ）与含某一项的平方的形式 $x$ .

(a) $$x^2 + 3x - 7$$

(a) $$x^2 + 3x - 7$$      (b) $5 - 4x - x^2$

(c) $$3x^2 - 5x$$

(c) $$3x^2 - 5x + 4$$      (d) $1 + 2x - 2x^2$

解 记住 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 。

(a) 要把 $x^2 + 3x$ 化为完全平方，我们需要加上 $(\frac{3}{2})^2$ . 因此我们有

$$\begin{aligned} x^2 + 3x - 7 &= [(x + \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2] - 7 \ &= (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{37}{4} \end{aligned}$$

(b) $$5 - 4x - x^2 = 5 - (4x + x^2)$$

$$x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 2^2$$