和

$$5 - 4x - x^2 = 5 - [(x + 2)^2 - 2^2] = 9 - (x + 2)^2$$

(c) 首先将 x 的系数“提到外面”² :

$$3x^2 - 5x + 4 = 3(x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{4}{3})$$

然后我们重新整理

$$x^2 - \frac{5}{3}x = (x - \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{36}$$

使得 $3x^2 - 5x + 4 = 3[(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{36} + \frac{4}{3}] = 3[(x - \frac{5}{6})^2 + \frac{23}{36}]$ 。

(d) 类似地

$$1 + 2x - 2x^2 = 1 - 2(x^2 - x)$$

和

$$x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$$

使得

$$1 + 2x - 2x^2 = 1 - 2[(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}] = \frac{3}{2} - 2(x - \frac{1}{2})^2$$

读者应当验证这些结果与恒等式 (1.5d) 一致。

数字 45 可以分解为 $3 \times 3 \times 5$ 。由 3、3 和 5 组成的任何数的乘积也是 45 的因数。代数式可以用类似的方式分解。含有多于一项的代数式，如果每一项都含有公因式（数字的或代数的），就可以被分解。这些公因式通过除法从每一项中移除，剩下的非公因式被归入括号中。

例 1.18 分解 $x_{\mathbb{Z}} + 2y_{\mathbb{Z}} - 2y - x$ 。

解 这四项没有公因式，所以我们成对地处理它们：

$$\begin{aligned} xz + 2yz - 2y - x &= (x + 2y)z - (2y + x) \ &= (x + 2y)z - (x + 2y) \ &= (x + 2y)(z - 1) \end{aligned}$$

或者，我们也可以写成

$$\begin{aligned} x_z + 2y_z - 2y - x &= (x_z - x) + (2y_z - 2y) \ &= x(z - 1) + 2y(z - 1) \ &= (x + 2y)(z - 1) \end{aligned}$$

来得到相同的结果。

在许多问题中，我们可以通过因式分解二次表达式来简化求解， $ax^2 + bx + c$ ‘手工’进行，利用对数值系数的因子的了解 $a$ , $b$ 和 $c$ .